Stiefel-Whitney Clases más Enteros?

Question

Una cosa interesante que pasó el otro día. Yo era de la computación de la Stiefel-Whitney para los números de $\mathbb{C}P^2$ conectar suma $\mathbb{C}P^2$ a demostrar que no era una frontera de otro colector. Por supuesto, uno puede calcular la firma, compruebe que no es cero y a la conclusión de que no puede ser el límite de una orientada al colector. Decidí que sería interesante calcular la primera y única Pontrjagin número de comprobar que no se desvanezca. Creo Hirzebruch Firma del Teorema puede ser utilizado para mostrar que es 6, pero yo estaba interesado en la relación de la Stiefel-Whitney clases a la Pontrjagin clases.

Creo que una relación es

$p_i (\mathrm{mod} 2) \equiv w_{2i}^2$ (pg. 181 Milnor-Stasheff)

Así que me fui y lo hizo de una cosa. Tomé mis primeras clases de Chern de la original conectar suma de piezas decir 3a y 3b, se utiliza el hecho de que la inclusión debe restringir mi 2ª "Stiefel-Whitney Clase" (asustar comillas porque no hemos reducido mod 2) en cada pieza a estos dos para obtener $w_2(connect sum)=(3\bar{a},3\bar{b})$. Puedo usar la intersección que se forma a la plaza de esta $3\bar{a}^2+3\bar{b}^2=6c$ desde la parte superior dimensiones de los elementos en una conectarse suma se identifican. La evaluación de este en contra de la clase fundamental nos da exactamente la primera Pontrjagin número! Esto es falso. Por supuesto, esto está mal porque debe ser 9+9=18 como se señala más abajo. Esto lo hace con mi supuesto milagro ejemplo. Mis Disculpas!

Esto me lleva a una cuestión más amplia, es decir, de la definición de Stiefel-Whitney Clases sobre los enteros. Esto se insinúa en Ilya Grigoriev la respuesta a Solbap la cuestión cuando dice:

Una cosa que me confunde: ¿por qué los pullbacks del entero cohomology de la real Grassmanian nunca se llama característica de las clases?

Por supuesto, la razón natural para restringir a $\mathbb{Z}/2$ coeficientes es conseguir alrededor de orientability preocupaciones. Pero parece como si nos restringimos nuestra orientación a orientable paquetes podríamos utilizar una construcción análoga a las de las clases de Chern donde Milnor-Stasheff inductivamente declarar la clase superior a la de Euler de la clase, y luego mirar el complemento ortogonal de paquete para el total de espacio de menos su sección cero y continuar. Supongo que la inducción se puede romper debido a la compleja estructura que se utiliza, pero no veo donde explícitamente. Si alguien me pudiese decir donde la compleja estructura se utiliza directamente, se lo agradecería. Nota la clase de Euler en el raro dimensiones de las fibras será de 2 de torsión, así que esto podría producir un comportamiento interesante en esta propuesta de S-W extensión de la clase.

Otra manera de ampliar Stiefel-Whitney clases sería el uso de Steenrod plazas. Bredon hace uso de Steenrod poderes con coeficiente de otros grupos además de los $\mathbb{Z}/2$ (generalmente $\mathbb{Z}/p$ $p\neq 2$), pero esto crea torpe restricciones en la cohomology grupos. Es este un obstáculo para la ampliación a $\mathbb{Z}$ coeficientes? Sería interesante ver lo que estos dos proyectos de extensiones de S-W clases y cómo están relacionados.

Answer 1

Estoy agradecido a Allen Hatcher, quien señaló que esta respuesta era incorrecta. Mis disculpas a los lectores y upvoters. Creo que es más útil para corregir lo de eliminar en su totalidad, pero una lectura crítica.

Si $X$ $Y$ son células complejos, finito en cada grado, y dos mapas de $f_0$ $f_1\colon X\to Y$ inducir el mismo mapa en cohomology con coeficientes en $\mathbb{Q}$ y en $\mathbb{Z}/(p^l)$ para todos los números primos $p$ naturales y los números de $l$, luego de que inducir el mismo mapa en cohomology con $\mathbb{Z}$ de los coeficientes. Para ver esto, escriba $H^n(Y;\mathbb{Z})$ como una suma directa de $\mathbb{Z}^{r}$ y varias primaria sumandos $\mathbb{Z}/(p^k)$, y tenga en cuenta que el sumando $\mathbb{Z}/(p^k)$ restringe injectively para el mod $p^l$ cohomology al $l\geq k$. Uno puede tomar sólo los $p^l$ que no es: $p^l$- torsión en $H^\ast(Y;\mathbb{Z})$. (Yo antes decía que uno podía tomar $l=1$, que en la reflexión es bastante inverosímil, y de hecho está mal.)

Podemos tratar de aplicar esto a $Y=BG$ $G$ un compacto de Lie del grupo. Por ejemplo, $H^{\ast}(BU(n))$ es de torsión libre (y las clases de Chern de generar el entero cohomology), y de manera racional característica clases suficiente. En $H^{\ast}(BO(n))$ $H^{\ast}(BSO(n))$ sólo hay 2-primaria de torsión. Que deja la posibilidad de que el mod 4 cohomology contiene más nítida de la información de la mod 2 cohomology. No, porque, como Allen Hatcher ha señalado en esta última respuesta, todos los torsión es en realidad 2-torsión.

A veces vale la pena considerar la integral Stiefel-Whitney clases de $W_{i+1}=\beta_2(w_i)\in H^{i+1}(X;\mathbb{Z})$, el Bockstein imágenes de los de siempre. Estas clases son de 2-torsión, y medir la obstrucción de la elevación $w_i$ a un entero de la clase. Por ejemplo, una orientada al vector paquete tiene una $\mathrm{Spin}^c$-estructura de la fib $W_3=0$.

[Yo soy escéptico al respecto de su ejemplo en $2\mathbb{CP}^2$. Tan lejos como puedo ver, $3a+3b$ plazas a los 18 años, no 6, y de hecho, $p_1$ no es un cuadrado.]

Answer 2

Por supuesto, cualquier cohomology clase de $BG$, con cualquier coeficientes, sirve como una característica de la clase de $G$-director de paquetes ($G$ es arbitraria grupo). Esto es más o menos la definición de la característica de las clases. Sin embargo, si $G=O(n)$ o $SO(n)$, es bastante difícil conseguir una mano de coeficientes enteros. John Klein dio un enlace aquí:

Lo característico de la clase de información que viene de la 2-torsión de $H^*(BSO(n);Z)$?

Para ver los ingredientes esenciales para la definición de Stiefel-Whitney clases para el verdadero vector de paquetes (y similares de la serie), es útil para ignorar Milnor-Stasheff y olvidarse de la célula descomposiciones de Grassmannians por un momento. (He aprendido la siguiente definición de Matías Kreck) Deje $V \to X$ ser un real $n$-dimensiones del vector paquete y $L \to RP^{\infty}$ el universal en línea del paquete. El externo producto tensor $V \boxtimes L$ es un paquete de más de $X \times RP^{\infty}$. Tiene una clase de Euler $e \in H^n (X \times RP^{\infty};Z/2)$. Uso Kuenneth a escribir este grupo como $\oplus_{k=0,...,n} H^k (X) \otimes H^{n-k} (RP^{\infty})$. En virtud de este isomorfismo, $e$ se convierte en $\sum_k w_k(V) \otimes x^{n-k}$, $x$ el generador de $H^{\ast}(RP^{\infty})$.

La misma construcción de los rendimientos de las clases de Chern, en sustitución de $Z/2$ $Z$ $R$ $C$ a lo largo.

Lo que se ve de esta construcción es que si usted desea tener integrales de clases, usted necesita la clase de Euler, es decir, orientability. Pero, no importa si $V$ es orientado o no, el paquete de $V \boxtimes L$ no está orientada.

Lo que puedes hacer es reemplazar $L \to RP^{\infty}$ por el universal $2$-dimensiones orientadas vector paquete de $U \to BSO(2)=CP^{\infty}$. El punto es que $U$ y, por tanto, $V \boxtimes U$ es un vector complejo paquete y por lo tanto orientada. Más precisamente

$$V \boxtimes_R U \cong V \boxtimes_R (C \otimes_C U) = (V \otimes_R C) \boxtimes_C U.$$

Usted obtener la Pontrjagin clases! Usted puede jugar el mismo juego con los cuaterniones y el universal quaternionic línea bundle $H \to HP^{\infty}$. Aquí es importante que para cada quaternionic vector paquete de $V \to X$, el paquete de $V \boxtimes_H H$ es sólo real orientados y no complejo. Las clases obtenidas de esta manera son llamados también Pontrjagin clases.

Una vez definidas estas clases, uno calcula el cohomology de la clasificación de los espacios $BG(n)$ ($G=U,O,SO,Sp$) con diferente coeficiente de anillos de $A$ con la ayuda de la Gysin secuencia de la esfera bundle $BG(n) \to BG(n+1)$ e inducción en $n$. Un punto importante es que el cálculo se realiza sin problemas si (y sólo si!!!) los números de Euler de la que ocurren las esferas son cero o invertible (en $A$). Por supuesto, los dos casos, producir muy diferentes resultados.

Si $G=U$ o $G=Sp$, todas las esferas son impares dimensiones y por lo tanto tienen cero número de Euler. Así, el compuation va bien para cualquier $A$.

Si $G=O,SO$, incluso hay dimensiones en las esferas alrededor, con número de Euler $2$. Por lo tanto el cálculo es suave, con $Z/2$-coeficientes y también si $2$ es invertible en el coeficiente de anillo. Pero los resultados son muy diferentes en carácter $2$$\neq 2$! Si $2$ no es ni cero ni invertible en el coeficiente de anillo, las cosas se vuelven desordenado en este punto.

Answer 3

La integral cohomology anillos de ambos $BO(n)$ $BSO(n)$ fueron calculadas por E. H. Brown, Procedimientos AMS, 85, 2, 1982, pág. 283-288. Estos anillos son generados por la Pontrjagin clases, Bocksteins de monomials incluso Stiefel-Whitney clases y, en el caso de $BSO(2k)$, la clase de Euler. La descripción es como sigue. Todos torsión es de 2-torsión. El subalgebra generado por el Pontrjagin clases (y la clase de Euler en el caso de $BSO(2k)$) no tiene torsión y está sujeta a sólo una relación: el cuadrado de la clase de Euler es el correspondiente Pontrjagin clase en la $BSO(2k)$ de los casos. La torsión ideal puede ser identificado con el $A$-submódulo de la mod 2 cohomology generado por la imagen de $Sq^1$ donde $A$ es el subalgebra generado por la reducción de la Pontrjagin clases, y la reducción de la clase de Euler en el caso de $BS(2k)$. La observación clave es el Lema 2.2.

El cohomology de $BO(n)\times BO(m)$ $BSO(n)\times BSO(m)$ puede ser descrito de una manera similar. E. H. Brown también calcula las imágenes de la Pontrjagin y Euler clases en el Whitney suma mapas de $BO(n)\times BO(m)\to BO(n+m),BSO(n)\times BSO(m)\to BSO(n+m)$. Euler clases se comportan como se espera; la torsión de los componentes de las imágenes de la Pontrjagin clases es un poco más complicado. Finalmente, la imagen de la Bockstein de un monomio en el Siefel-Whitney clases pueden ser calculadas usando Lema 2.2 y la acción de la álgebra de Steenrod en el mod 2 cohomology.

De manera `integral característico de las clases" no dan ninguna de nuevas herramientas para distinguir real vector haces hasta isomorfismo. Sin embargo, en principio, estas clases pueden dar nuevos obstáculos a la representación de los paquetes como Whitney sumas y, por el principio de separación, como el tensor de productos, simétrica o exterior poderes etc.

Answer 4

Creo (pero no estoy seguro) que se PUEDE definir el carácter de las clases de $BSO(n)$ $\mathbb{Z}$ coeficientes, pero no es tan fácil trabajar con ellos, o calcular.

Uno de los grandes problemas es que el entero cohomology anillo del infinito Grassmanians es bastante desagradable, mientras que con $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$ coeficientes, no es tan malo (dando lugar a la Stiefel-Whitney clases y con un poco más de trabajo, el Pontrjagin clases y la clase de Euler).

Otro problema general es la siguiente: Para el estándar de inclusiones $SO(k)\rightarrow SO(n)$ como una forma de bloque, uno quiere saber lo que la inducida por los mapas de $BSO(k)\rightarrow BSO(n)$ aspecto, o al menos la inducida por el mapa de $ H^{\*}(BSO(n))\rightarrow H^{\*}(BSO(k)) $ parece. Para $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ coeficientes, es muy fácil: el mapa tiene el núcleo de todas las $w_i$ $i > k$ y es un isomorfismo en el resto. Es igualmente fácil para los coeficientes racionales. (Y, en un aparte, uno puede repetir las mismas preguntas con $BU(n)$ y el de las clases de Chern. Resulta que el cohomology anillo de $BU(n)$ $\mathbb{Z}$ coeficientes está muy bien, y estos inducida por los mapas también son fáciles de calcular.)

No sólo son la integral cohomology anillos de $BSO(n)$ desordenado, estos inducida por los mapas en cohomology no son tan bien conocidos.

Answer 5

El "complemento ortogonal" la construcción de las clases de Chern funciona así: si $V\to X$ $U(n)$- bundle, vamos a $p:S(V)\to X$ ser la esfera de paquete, y escribir $p^\*V\approx W\oplus \mathbb{C}$ para la descomposición de la retirada. Queremos definir $c_{n-1}(V)$$e(W)$, pero esto es en el grupo equivocado; para obtener una buena definición de la clase en $H^{2n-2}X$, tenemos que saber que $$ p^\*:H^{2n-2}X \to H^{2n-2}S(V)$$ es un isomorfismo. Lo es, porque la fibra del paquete de $p$$S^{2n-1}$, $(2n-2)$- conectado.

Si tratamos de hacer esto para un $SO(n)$-bundle, nos gustaría saber que $$p^\*: H^{n-1}X\to H^{n-1}S(V)$$ es un isomorfismo. Pero ahora la fibra es $S^{n-1}$, que sólo es $(n-2)$-conectado. Por lo que el mapa de $p^*$ en cohomology puede no ser surjective. Así que usted puede no ser capaz de levantar su elemento de a $H^{n-1}(X)$. Esta falla ya para el universal $SO(3)$-bundle; en este caso, la clase de Euler $e(W)\in H^2S(V)=H^2BSO(2)$ no levante a $H^2BSO(3)$.