Probar o desmentir la suma en un conjunto

Question

Me estoy haciendo preguntas de repaso para un examen y estoy completamente perplejo en esta pregunta en particular:

Sea A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32}. Demostrar o refutar que si selecciono 10 distintos elementos del conjunto A, que hay al menos dos pares de elementos cuya suma será exactamente 34.

Me pueden explicar de manera lógica, porque es lógico que si seleccionas cualquiera de los 10 números que habrá dos o más pares de elementos cuya suma será exactamente 34. Yo era capaz de demostrarlo con el ejemplo, pero me puede ayudar mediante la prueba utilizando un método diferente.

Gracias de antemano!

Answer 1

Desea que el principio del palomar. Tenga en cuenta que si $n$ es seleccionado, $34-n$ no puede ser. Tenga en cuenta que esto divide el conjunto en $8$ pares. Por lo que debe haber escogido a dos elementos de dos pares.

Añadido: Miren el conjunto de esta manera. Tiene todos los elementos de las dos primeras columnas. $$\begin {array}{r r r} a&b&sum\\2&32&34\\4&30&34\\6&28&34\\8&26&34\\ &\ldots \\16&18&34 \end {array}$$

Si se toman dos elementos de la misma fila, se obtiene dos elementos que se suman a $34$. Hay sólo ocho filas de la tabla. Así que si usted toma diez elementos que se tendrán que tomar dos pares de (al menos) que se suman a $34$.

Answer 2

insinuación

Haz los pares de$8$ de la siguiente manera$\{2,32\}, \{4,30\} \ldots \{16,18\}$ y usa el principio de encasillado.

Answer 3

Imagine intentar seleccionar elementos sin ningún par de ellos sumando a$34$. Para cada número$n$ que seleccione, debe evitar su número complementario$34 - n$, que también está en el conjunto. En el mejor de los casos, puede elegir$8$ números, y luego en$9$ th, la suma de$34$ es inevitable.

Este es un ejemplo del Principio de Pigeonhole .