Mostrar una matriz es positiva definida

Question

Yo estaba buscando en UCLA en el Departamento de Matemáticas de la Caída del 2015 Basic Examen de Calificación, y la pregunta #12 es el siguiente.

Demostrar que la siguiente matriz es positiva definida.

$$M=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & \ldots & 1\\ 1 & 3 & 1 & \ldots & 1\\ 1 & 1 & 4 & \ldots & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1& 1& \ldots &n+1 \end{pmatrix}$$

Yo no era super seguro de cómo uno debe de proceder; mostrando el $x^TMx>0$ todos los $x \neq 0$ parece como un dolor, y estaba curioso por saber si había una mancha de la manera de hacer esto. Otras formas sería escribir $M = AA^T$ o ir a través de la polinomio característico, pero no estoy super seguro acerca de los bien. Si alguien puede darle algunos consejos, que sería genial!

Answer 1

Escribir $$M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 2 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & 3 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0& 0& \ldots &n \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1\\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1\\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1& 1& \ldots &1 \end{pmatrix}.$$

Ahora es fácil ver que la primera de estas matrices es positiva definida, mientras que el segundo es positivo-semidefinite (en particular, sus autovalores son $n$$0$).

Answer 2

Tal vez usted puede consultar https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%27s_criterion. Proceder por inducción.