La propiedad del operador Backshift no está clara

Question

En mi libro de introducción al análisis de series temporales el operador backshift $\mathbf{B}$ se introduce mediante la siguiente definición: $$ \mathbf{B}x_t=x_{t-1} $$ Luego el autor se pone a derivar algunas propiedades de los paseos aleatorios, y hay este paso, que es un completo misterio para mí: $$ x_t=(1-\mathbf{B})^{-1}w_t\Rightarrow x_t=(1+\mathbf{B}+\mathbf{B}^2+\mathbf{B}^3+\dots)w_t $$

No entiendo cómo $(1-\mathbf{B})^{-1}$ equivale a $(1+\mathbf{B}+\mathbf{B}^2+\mathbf{B}^3+\dots)$ . Tal vez en el libro el autor no proporcionó algunas propiedades importantes del operador backshift que se utilizaron derivando el paso anterior.

Answer 1

La condición $P(x+5)-P(x)=2$ para todos $x$ puede reescribirse como " $(x,y)$ está en el gráfico de $y=P(x)$ si y sólo si $(x+5,y+2)$ es. " Esto implica que si $(x,y)$ está en el gráfico de $y=P(x)$ Así que son $(x+5k,y+2k)$ para todos $k\in\mathbb{Z}$ . Todos esos puntos se encuentran en una línea de la forma $y=\frac{2}{5}x+b$ para algunos $b\in\mathbb{R}$ para que esa línea intersecte la gráfica de $y=P(x)$ infinitamente muchas veces, o de forma equivalente, $P(x)=\frac{2}{5}x+b$ tiene infinitas soluciones.

La única manera de que eso ocurra con un polinomio $P$ es si $P(x)=\frac{2}{5}x+b$ para todos $x\in\mathbb{R}$ (dos polinomios distintos sólo pueden ser iguales en un número finito de puntos; si dos polinomios son iguales en un número infinito de puntos, deben ser idénticamente iguales). Por lo tanto, $$P(4)-P(2)=\left(\frac{2}{5}\cdot 4+b\right)-\left(\frac{2}{5}\cdot 2+b\right)=\frac{4}{5}.$$