Solución General para la ecuación Eikonal $| \nabla u|^2=1$

Question

¿Existe una fórmula para la solución general de la ecuación Eikonal? $| \nabla u|^2=1$. Estoy buscando algo similar a "la solución general de la $\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)=0$$u=\varphi(y)$, para una función arbitraria $\varphi$". Es decir, la fórmula debe incluir una función arbitraria.

Gracias

Answer 1

No, pero hay un par de casos especiales. Tomar una arbitraria convexo función como $y=x^2$, y tomar como el dominio de $u$ todos los puntos de con $y<x^2$. Luego, para cada punto del dominio, no hay un único punto más cercano en el gráfico. Tome $u$ a que sea la distancia a ese punto. El caso más simple es $y=0$, $u(x,y) = |y|$. El nivel de conjuntos de $u$ son curvas en `paralelo" a la frontera, e incluso para $y=x^2$ no se puede escribir una buena fórmula para $u$, a pesar de que usted puede escribir una implícita. La misma idea funciona en cualquier número de dimensiones, tomar un conjunto convexo, y definir $u(x)$ a medida que la distancia a la que se establezca, al $x$ es exterior al conjunto. Esto resuelve la ecuación eikonal porque $|\nabla u|$ es la tasa máxima de cambio de $u$, que se produce por el movimiento de $x$ directamente lejos de que el punto más cercano, y al hacer ese movimiento, $u$ cambios en exactamente la misma distancia a la que se trasladó $x$.