Mostrar la identidad entre el producto-$\sigma$-álgebra y un conjunto

Question

Deje $T$ ser cualquier conjunto de índices y $(\Omega_i,\mathcal{A}_i)_{i\in T}$ una familia de espacios medibles y $\mathcal{A}:=\bigotimes_{i\in T}\mathcal{A}_i$. Mostrar que $$ \mathcal{A}=\left\{A\subconjunto \times_{i\in T}\Omega_i | \existe R\subconjunto T\text{ contables} :\en\pi_R^{-1}\left(\bigotimes_{i\in I}\mathcal{A}_i\right)\right\}=:\mathcal{B}, $$ con lo cual $$ \pi_R\colon \times_{i\in T}\Omega_i\a\times_{i\in I}\Omega_i, (\omega_i)_{i\in T}\mapsto (\omega_i)_{i\in I}. $$

(Lo siento, no sé cómo se escriben los grandes momentos aquí, así que he utilizado el pequeño \times.)

Hola!

$\subseteq$:

Mi suposición es que $\mathcal{B}$ $\sigma$- álgebra, ¿es eso cierto? ( Iwas no es capaz de mostrar aún).

Deje $\mathcal{F}(T)$ el conjunto de los subconjuntos finitos de $T$. A continuación, en la conferencia que tuvimos, que $\mathcal{A}$ es generado por $$ \mathcal{Z}=\mathcal{Z}(\mathcal{A}_t: t\T):=\bigcup_{S\in\mathcal{F}(T)}\mathcal{Z}_S,~~~\mathcal{Z}_S:=\pi_S^{-1}\left(\bigotimes_{t\S}\mathcal{A}_t\right), $$ por lo $\sigma(\mathcal{Z})=\mathcal{A}$.

Cuando veo correcto,$\mathcal{Z}\subset \mathcal{B}$. Si mi suposición de que $\mathcal{B}$ $\sigma$- Álgebra es correcto, entonces lo que sigue es $\mathcal{A}=\sigma(\mathcal{Z})\subset \mathcal{B}$.

$\supseteq$:

Considere la posibilidad de $A\in \mathcal{B}$. Entonces existe un contable $R\subset T$, de modo que $A\in\pi_R^{-1}\left(\bigotimes_{i\in R}\mathcal{A}_i\right)$.

Ahora creo que uno tiene que distinguir (i) $R$ es finito y (ii) $R$ es countably infinito.

Caso (i): a Continuación,$A\in\mathcal{Z}_{R}\subset\mathcal{Z}\subset\sigma(\mathcal{Z})=\mathcal{A}$.

Yo no soy capaz de manejar el caso (ii).

Sería grande si usted podría ayudarme.

Answer 1

Deje $A$ ser un conjunto en el producto $\sigma$-álgebra. Queremos mostrar a $A\in\mathcal{B}$. Es suficiente para encontrar una contables set $R$ tal que $A=\pi_R^{-1}(A)$. Este es ciertamente el caso de la si $A=\emptyset$. También, es el caso de si $\pi_t(A)=\Omega_t$ para todos, pero countably muchos $t$. En ese caso, podemos dejar que la $R=\{t:\pi_t(A)\neq\Omega_t\}$. Por lo que es suficiente para demostrar el siguiente lema:

Lema: Vamos a $\mathcal{W}$ ser parte de la familia de todos los conjuntos medibles $A$ que están vacías o son tales que $\pi_t(A)=\Omega_t$ para todos, pero countably muchos $t$. A continuación,$\mathcal{A}=\mathcal{W}$.

Prueba: $\prod_t\Omega_t$ es claramente en $\mathcal{W}$. Deje $A$ ser un conjunto no vacío con vacío complemento en $\mathcal{W}$ tal que $\pi_t(A)=\Omega_t$ todos los $t$ fuera de los contables set $R$. Entonces $$A^C=\Big\{x\in\prod_t\Omega_t:x\notin A\Big\}=\Big\{x\in\prod_t\Omega_t:x_t\notin \pi_t(A)\text{ for some }t\Big\}$$ $$=\Big\{x\in\prod_t\Omega_t:x_t\notin \pi_t(A)\text{ for some }t\in R\Big\}.$$ So $A^C$ is a product measurable set such that $\pi_t(A^C)=\Omega_t$ for all $t\noen R$. So $\mathcal{W}$ es cerrado bajo la complementa.

Ahora vamos a $(A_n)$ ser una secuencia de conjuntos en $\mathcal{W}$. Podemos asumme wlog que todos los conjuntos de la secuencia está vacía y tiene vacío el complemento. Para cada una de las $n$, vamos a $R_n$ ser tal que $\pi_t(A_n)=\Omega_t$ todos los $t\notin R_n$. Deje $R=\bigcap_n R_n$.Ahora vamos a $t\notin R$. Entonces no es $m$ tal que $t\notin R_m$ y, por tanto,$\pi_t(A_m)=\Omega_t$. Ahora $$A_m\subseteq \bigcup_n A_n\text{ and therefore }\Omega_t=\pi_t(A_m)\subseteq\pi_t\bigg(\bigcup_n A_n\bigg),$$ which shows that the latter set equals $\Omega_t$. So $\mathcal{W}$ is closed under countable unions. Since it is also closed under complements, it is therefore also a $\sigma$-algebra. Moreover, we clearly have $\pi_t^{-1}(A_t)\in\mathcal{W}$ for all $A_t\in\mathcal{A}_t$. So $\mathcal{W}=\mathcal{A}$. $ \square$

En el otro sentido, vamos a $R$ ser contables, y $A$ ser producto medible y no vacío. Queremos mostrar que $\pi_R^{-1}(A)$ es producto medible. Ahora$$\pi_R^{-1}(A)=\{x\in\prod_t\Omega_t: x_t\in\pi_t^{-1}(A)\text{ for all }t\in R\}=\bigcap_{t\in R}\pi_t^{-1}(A)\in\mathcal{A},$$, que es medible como el contable de la intersección de conjuntos medibles.