El uso del módulo en la prueba de inducción matemática de $7^{2n}-9$ siendo divisible por 2

Question

Intenté probar que $7^{2n}-9$ es divisible por 2 de la siguiente manera:

Caso base: Cuando $n=1$ ,

$$7^{2}-9\equiv 0\;(\text{mod}\,2)$$

Paso de inducción: Supongamos que $n=k$ ,

$$7^{2k}-9\equiv 0\;(\text{mod}\,2)$$

Queremos demostrar que es cierto para $n=k+1$ ,

$$7^{2(k+1)}-9=7^{2k+2}-9=49\cdot7^{2k}-9$$

$$=49\cdot7^{2k}-9=49\cdot[0\;(\text{mod}\,2)+9]-9.$$

Como no pude continuar, utilicé lo siguiente en su lugar:

Paso de inducción: Supongamos que $n=k$ ,

$$7^{2k}-9=2a$$

Para $n=k+1$ ,

$$7^{2(k+1)}-9=7^{2k+2}-9=49\cdot7^{2k}-9$$

$$=49\cdot7^{2k}-9=49\cdot(2a+9)-9=2(49a+216)=2b.$$

¿Alguien puede mostrarme cómo demostrar esto mediante un módulo?

Answer 1

Siguiendo su planteamiento, observe que en el paso inductivo, $$7^{2(k+1)}-9=49\cdot7^{2k}-9=49\underbrace{(7^{2k}-9)}_{\equiv 0 \pmod{2}}+\underbrace{(49-1)}_{\equiv 0 \pmod{2}}\cdot9\equiv 0 \pmod{2}.$$

P.D. En lugar de la inducción, una prueba directa se desprende de los hechos básicos que:

1) el producto de dos números Impares es impar (entonces $7^{2n}$ es impar);

2) la diferencia de dos números Impares es par (entonces $7^{2n}-9$ es par).

Answer 2

Como alternativa, simplemente observe que

$$7^{2n}-9\equiv (1)^{2n}-1\equiv 0 \mod 2$$

Answer 3

Otra prueba más:

$7^{2n}-9 \pmod 2$ es la diferencia de dos cuadrados - $(7^n+9)(7^n-9)$ . Ambos paréntesis son pares (¡pruébalo!), por lo que la expresión original no sólo es par, sino que es divisible por $4$ ¡(Robert Z)!