Una banda de caucho alrededor de dos cilindros

Question

En la lectura de esta pregunta me di cuenta de que la forma tomada por una banda de goma envuelta alrededor de dos cilindros con ejes perpendiculares y diferentes radios que no es tan obvio. Supongo que la banda de goma se toman la forma para que su longitud es mínima.

Mi primera conjetura sería algo así como el diagrama a continuación (por favor, ignore las partes internas de los puntos suspensivos): dos arcos de elipse acompañado por dos segmentos, todas situadas en un plano inclinado a 45° con respecto a los cilindros de ejes. Pero, por supuesto, que bien puede estar equivocado: antes de embarcarse en una larga cálculo me gustaría saber si esta pregunta ya ha sido respondida antes.

EDIT.

Me convencí de que mi "adivinar" está mal seguro, porque como el radio de la menor (horizontal) del cilindro se aproxima a cero espero que la banda de goma para envolver alrededor de la vertical del cilindro en un casi horizontal de la curva. Puede funcionar sólo si los cilindros tienen el mismo radio.

Answer 1

Los dos arcos en los cilindros no son partes de elipses, sino de hélices: Si se desenvuelva el de los cilindros de estos arcos se convierten segmentos de línea recta. De hecho, el completamente envueltos banda de goma es una línea recta larga, sin esquinas en los puntos donde la banda saca de los cilindros. Nota que la banda está espejo simétrico con respecto a la línea de intersección de los ejes de los cilindros en forma ortogonal (en rojo en la figura).

Considere la posibilidad de un cilindro de radio $a$ $x$- eje como eje y un cilindro de radio $b$ con eje paralelo a la $y$-eje en $z$nivel $c>a+b$, ver la siguiente figura.

La hélice en el primer cilindro puede ser parametrizadas por $$s\mapsto{\bf p}(s):=(\lambda s, a\sin s,-a\cos s)\qquad(0\leq s\leq s_*)\ ,$$ y la hélice en el segundo cilindro puede ser parametrizadas por $$t\mapsto{\bf q}(t):=(b\sin t,\mu t, c+b\cos t)\qquad(0\leq t\leq t_*)\ .$$ Aquí los parámetros $\lambda$, $\mu>0$ y $s_*$, $t_*\in\bigl]{\pi\over2},\pi\bigr[\>$ tiene que ser elegido tal que el siguiente geométrica principal se satisface la condición:

$\bullet \quad $ Los vectores $\ {\bf p}'(s_*), \ {\bf q}'(t_*), \ {\bf q}(t_*)- {\bf p}(s_*)$ son paralelas.

Se obtiene $${\bf p}'(s)=(\lambda, a\cos s, a\sin s),\quad{\bf q}'(t)=(b\cos t,\mu, -b\sin t)$$ y por lo tanto $${\bf p}'(s)\times{\bf q}'(t)=\bigl(-a(\mu\sin s+b\cos s\sin t), b(a\cos t\sin s+\lambda\sin t),\ \ldots\bigr)\ .$$ En la solución de punto de $S=(\lambda,\mu, s_*, t_*)$ con lo que tenemos $$\lambda=-a\sin s\cot t,\qquad \mu=-b\sin t\cot s\ .\tag{1}$$ De ello se desprende que en $S$ ambos vectores ${\bf p}'(s_*)$, ${\bf q}'(t_*)$ son paralelas a $${\bf z}=(-\sin s\cos t, \cos s\sin t,\sin s\sin t)\ ,$$ por el cual he omitido los $*$. El uso de $(1)$, podemos decir que en $S$ también tenemos $${\bf h}:={\bf q}(t)- {\bf p}(s)=(as\sin s\cot t+b\sin t, -a\sin s-bt\cot s\sin t,c+a\cos s+b\cos t)\ .$$ Con el fin de obtener dos ecuaciones podemos ahora calcular $${\bf h}\times{\bf z}=(-\sin t \> g_1, -\sin s\> g_2, \ \ldots)\ ,$$ donde $$g_1:=a+\cos s(c+b\cos t+b t\sin t),\qquad g_2=b+\cos t(c+a\cos s+a s\sin s)\ .$$ Desde ${\bf h}\times{\bf z}={\bf 0}$ $S$ se sigue que podemos obtener $s_*$, $t_*$ mediante la resolución de $g_1=g_2=0$ $s$ $t$ . Por desgracia, estas son trascendentales ecuaciones. El siguiente ejemplo numérico muestra que obtenemos de hecho una única solución en el intervalo.

Answer 2

Como explicó Blatter y Cristiano Narasimham, la banda de goma se envuelva alrededor de los cilindros a lo largo de una curva formada por dos hélices, acompañado por dos segmentos de tangente.

Deje $PABQ$ ser la mitad de esta curva con la otra mitad de su reflexión acerca de la línea de $PQ$, perpendicular a ambos ejes (ver diagrama a continuación), y con $A$, $B$ los puntos de tangencia. Vamos, a continuación, $\alpha$ ser el ángulo central de $P$ a generatrices $AA'$ $\beta$ ser el ángulo central de $Q$ a generatrices $BB'$.

En los planos tangentes a los cilindros a $A$ $B$ podemos entonces construir puntos de $P'$ $Q'$ tal que $A'P'$ $B'Q'$ son perpendiculares a la tangencia generatrices y tienen la misma longitud como los arcos $PA'$$QB'$. La curva de longitud mínima si $\alpha$ $\beta$ son tales que los puntos de $P'ABQ'$ acostará sobre una línea recta.

Para encontrar $\alpha$ $\beta$ se puede considerar que la vista lateral se muestra a continuación, que es la proyección de camino de $P'B$ en el avión $PQB'$. Tenemos: $$ \etiqueta{1} -\cos\beta={r_B\más de d+(\alpha\sin\alpha+\cos\alpha)r_A}, $$ donde $r_A$, $r_B$ son los radios de los cilindros y de $d$ es la distancia entre sus ejes. De la misma manera podemos encontrar la relación simétrica $$ \etiqueta{2} -\cos\alpha={r_A\más de d+(\beta\sin\beta+\cos\beta)r_B}. $$

De estas dos ecuaciones se pueden resolver para$\alpha$$\beta$, pero no podemos expresar las soluciones como expresiones simples. Afortunadamente, las soluciones pueden ser obtenidos numéricamente con un simple enfoque iterativo, comenzando con $\alpha=\beta=\pi/2$. Una vez $\alpha$ $\beta$ son conocidos, se puede también calcular $$ AA'=-\alpha \sin\alpha \cuna\beta\, r_A, \quad BB'=-\beta \sin\beta \cuna\alpha\, r_B. $$

EDIT.

Un ejemplo de ello. Para $r_A=0.6$, $r_B=0.3$, $d=1$ (los mismos valores elegidos en el Cristiano la respuesta de Blatter) un proceso iterativo de cálculo de $\alpha$$\beta$, mediante el uso de ecuaciones $(1)$, $(2)$ y comenzando con $\alpha=\beta=\pi/2$ converge rápidamente a los valores que se muestran a continuación:

Estos resultados para $\alpha$ $\beta$ parecen estar de acuerdo con los valores encontrados por Christian Blatter arriba (donde reciben el nombre de $s$$t$). En grados, ascienden a $\alpha=114.185°$$\beta=99.358°$. A continuación, también se obtiene: $AA'=0.17976$$BB'=0.23053$.

EDICIÓN 2.

He creado una hoja de cálculo de GeoGebra donde los parámetros geométricos se pueden cambiar y la forma de la banda de goma se calcula de acuerdo a la construcción explicado anteriormente: https://www.geogebra.org/m/gngk7qzA

Answer 3

Pregunta interesante que describe directa tangented banda de goma entre dos (diferentes diámetros), paralelos al eje de los cilindros.. y posteriormente trenzado para hacer a los ejes perpendiculares.

En el momento lo que se me aparece como espacial determinación/matemáticas modelado geométrico de la conexión de banda es la siguiente:

Las bandas de conexión de los cilindros se ejecutan a lo largo helicoidal geodésico de caminos. Más tensión en la cuerda se desvía de la banda se deslice fuera lo que es inestable. Cuando los rodillos están en rotación y algunos de lubricante sólido por ejemplo tiza francesa se aplica se hace intuitivamente claro cuáles son las trayectorias estables que debe ser.

La tensa conexión de banda en el aire se encuentra en una tangente común para los bordes de la regresión de la tangencial de las superficies desarrollables ( curvatura de Gauss $K=0$ ) de /en el cilindro.

Hacia la solución del problema:

Ecuación paramétrica de la Hélice 1

$$ (x_1,y_1,z_1)= (a \cos u , a \sin u, p u) $$ where $u$ es contado desde el punto más lejano en el Cilindro 1

Ecuación paramétrica de la Hélice 2

$$ (x_2,y_2,z_2)= (b \cos v +h, b \sin v , q v+k) $$ where $v$ es contado desde el punto más lejano en el Cilindro 2

Hay 4 incógnitas $ (u,v, p,q)$ , conocido Cilindro radios $(a,b,h,k)$ incluyendo los puntos de inicio de compensar $(h,k)$.

Para resolver los anteriores son dos ecuaciones.

Siguientes dos ecuaciones se determinan a partir de alineación 3D de la dirección de los cosenos de la tangente común

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}= \frac{z-z_1}{n} $$

$$\frac{x-x_2}{l} = \frac{y-y_2}{m}=\frac{z-z_2}{n}$$

Una alternativa de modelado de la forma (comenzar la estrategia de al menos) es minimizar el total de la longitud de la banda sobre la base de cuatro variables independientes de los parámetros de $(u,v,p,q)$ en

$$ u \sqrt{a^2+p^2} + v \sqrt{b^2+q^2} + \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+ (z_2^2-z_1)^2 }$$

por los métodos habituales de minimización de ajuste derivados a cero.

Entre los centros de los helicoidal arcos hay una parte ascendente y descendente de la parte en cualquiera de los lados: