Así que toma la función $$f_{1}(x)= \sum_ {n=3}^{x+2}n^x.$$ Esto dará resultados como $3^1$ para $x=1$ , $3^2+4^2$ para $x=2$ y $3^3+4^3+5^3$ para $x=3$ y etc. Ahora, también, toma la función $$f_2(x)=(x+3)^x.$$ Este dará resultados como $4^1$ para $x=1$ , $5^2$ para $x=2$ y $6^3$ para $x=3$ y etc.
Ambos una especie de se relacionan con el último teorema de Fermat y la conjetura relacionada de Euler.
Lo que es genial es que $f_1(x)=f_2(x)$ cuando $x=2,3$ .
Sin embargo, ambas funciones se separan a valores más altos, por ejemplo: $$f_1(4)=3^4+4^4+5^4+6^4=2258 \neq f_2(4)=7^4=2401.$$ Lo que es interesante, sin embargo, es que $f_2(x) \ge f_1(x)$ para todos los números enteros no negativos $x$ ( $f_1$ ni siquiera tendría sentido con cualquier otro dominio).
Aún más interesante es la función $ \frac {f_2(x)}{f_1(x)}$ que parece converger, como $x$ se acerca al infinito.
La suya es una tabla de valores para $x$ , $f_1(x)$ , $f_2(x)$ y $ \frac {f_2(x)}{f_1(x)}$ (los valores son aproximaciones de 5 dígitos) $$ \begin {array}{c|lcr} x & f_1(x) & f_2(x) & \frac {f_2(x)}{f_1(x)} \\ \hline 1 & 3 & 4 & 1.3333 \\ 2 & 25 & 25 & 1 \\ 3 & 216 & 216 & 1 \\ 4 & 2258 & 2401 & 1.0633 \\ 5 & 28975 & 32768 & 1.1309 \\ 10 & 1.0277 \times 10^{11} & 1.3786 \times 10^{11} & 1.3414 \\ 20 & 1.1446 \times 10^{27} & 1.7162 \times 10^{27} & 1.4994 \\ 30 & 2.2970 \times 10^{45} & 3.5927 \times 10^{45} & 1.5641 \\ 40 & 1.3640 \times 10^{65} & 2.1814 \times 10^{65} & 1.5993 \\ 50 & 1.0090 \times 10^{86} & 1.6360 \times 10^{86} & 1.6214 \\ 100 & 1.1521 \times 10^{201} & 1.921 \times 10^{201} & 1.6681 \\ 142 & 4.8786 \times 10^{306} & 8.2083 \times 10^{306} & 1.6825 \\ \end {array} $$ Así que la pregunta se reduce a: $$ \text {What is} \lim_ {x \to \infty } \frac {(x+3)^x}{ \sum_ {n=3}^{x+2}n^x}?$$
Respuestas
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0. Apertura: Tengan en cuenta que $$f_1(x)= \sum_ {n=3}^{x+2}n^x=(x+2)^x \sum_ {k=0}^{x-1} \left (1- \frac k{x+2} \right )^x$$ 1. Límite superior: Por cada $t$ , $$1-t \leqslant e^{-t}$$ por lo tanto, para cada $k$ , $$ \left (1- \frac k{x+2} \right )^x \leqslant e^{-kx/(x+2)}$$ lo que implica $$f_1(x) \leqslant (x+2)^x \sum_ {k=0}^ \infty e^{-kx/(x+2)}= \frac {(x+2)^x}{1-e^{-x/(x+2)}}$$ por lo tanto $$ \frac {(x+3)^x}{f_1(x)} \geqslant\left (1+ \frac1 {x+2} \right )^x(1-e^{-x/(x+2)})=g(x)$$ 2. Límite inferior: Por otro lado, por cada $t$ en $(0, \frac12 )$ , $$1-t \geqslant e^{-t-t^2}$$ Arreglar algunos positivos $a$ . Entonces, por cada $k \leqslant a \sqrt x$ y cada $x$ lo suficientemente grande, $$ \left (1- \frac k{x+2} \right )^x \geqslant e^{-kx/(x+2)}e^{-a^2}$$ lo que implica $$f_1(x) \geqslant (x+2)^xe^{-a^2} \sum_ {k=0}^{a \sqrt x}e^{-kx/(x+2)} \geqslant (x+2)^xe^{-a^2} \frac {1-e^{-a \sqrt xx/(x+2)}}{1-e^{-x/(x+2)}}$$ por lo tanto $$ \frac {(x+3)^x}{f_1(x)} \leqslant\left (1+ \frac1 {x+2} \right )^xe^{a^2} \frac {1-e^{-x/(x+2)}}{1-e^{-a \sqrt xx/(x+2)}}=h_a(x)$$ 3. Cauda: Ahora, $$ \lim_ {x \to\infty } g(x)=e(1-e^{-1})=e-1$$ y $$ \lim_ {x \to\infty } h_a(x)=e\,e^{a^2} \frac {1-e^{-1}}{1}=(e-1)e^{a^2}$$ por lo tanto, por cada positivo $a$ , $$e-1 \leqslant\liminf_ {x \to\infty } \frac {(x+3)^x}{f_1(x)} \leqslant\limsup_ {x \to\infty } \frac {(x+3)^x}{f_1(x)} \leqslant (e-1)e^{a^2}$$ que, en el límite $a \to0 $ implica
$$ \lim_ {x \to\infty } \frac {(x+3)^x}{f_1(x)}=e-1$$
No es una respuesta, sino sólo por la diversión de jugar con números enormes y precisión ilimitada.
Deje que $x=10 ^k$ y calcular la expresión como lo hiciste. Esto da $$ \left ( \begin {array}{cc} k & \text {result} \\ 1 & 1.341438740 \\ 2 & 1.668056114 \\ 3 & 1.713087849 \\ 4 & 1.717760654 \\ 5 & 1.718229693 \\ 6 & 1.718276615 \\ 7 & 1.718281307 \end {array} \right )$$ que se parece a $(e-1) \approx 1.718281828$ .
Mi computadora (y yo) nos rendimos por $k=8$ . Sin embargo, usando Aceleración de Aitken $$p_8= p_5- \frac {(p_6-p_5)^2}{p_7-2 p_6+p_5}$$ y más cifras decimales para los cálculos anteriores, el próximo término sería $1.71828182848$ mientras que $(e-1) \approx 1.718281828459$ .
No es una respuesta, sino sólo por diversión y para explorar otras formas
Por Cesaro-Stolz
$$ \frac {a_x}{b_x}= \frac {(x+3)^x}{ \sum_ {n=3}^{x+2}n^x} \implies \frac {a_{x+1}-a_x}{b_{x+1}-b_x}= \frac {(x+4)^{x+1}-(x+3)^x}{ \sum_ {n=3}^{x+3}n^{x+1}- \sum_ {n=3}^{x+2}n^x} = \frac {(x+4)^{x+1}-(x+3)^x}{(x+3)^{x+1}+ \sum_ {n=3}^{x+2} \left (n^{x+1}-n^x \right )} = \frac {(1+ \frac1 {x+3})^{x+1}- \frac1 {x+3}}{1+ \frac { \sum_ {n=3}^{x+2} \left (n^{x+1}-n^x \right )}{(x+3)^{x+1}}}$$
entonces si $ \lim_ {x \to\infty } \frac { \sum_ {n=3}^{x+2} \left (n^{x+1}-n^x \right )}{(x+3)^{x+1}}=L_2 \implies L_1= \lim_ {x \to \infty } \frac {(x+3)^x}{ \sum_ {n=3}^{x+2}n^x}= \frac {e}{1+L_2}$
entonces de nuevo por Cesaro-Stolz obtenemos
$$ \frac {a_x}{b_x}= \frac { \sum_ {n=3}^{x+2} \left (n^{x+1}-n^x \right )}{(x+3)^{x+1}}= \frac { \sum_ {n=3}^{x+2} n^x(n-1)}{(x+3)^{x+1}} \implies \frac {a_{x+1}-a_x}{b_{x+1}-b_x} = \frac { \sum_ {n=3}^{x+3} n^{x+1}(n-1)- \sum_ {n=3}^{x+2} n^x(n-1)}{(x+4)^{x+2}-(x+3)^{x+1}} = \frac {(x+3)^{x+1}(x+2)+ \sum_ {n=3}^{x+2} n^{x}(n-1)^2}{(x+4)^{x+2}-(x+3)^{x+1}} = \frac {1+ \frac { \sum_ {n=3}^{x+2} n^{x}(n-1)^2}{(x+3)^{x+1}(x+2)}}{ \frac {x+4}{x+2}(1+ \frac1 {x+3})^{x+1}- \frac1 {x+2}}$$
así que si $ \lim_ {x \to\infty } \frac { \sum_ {n=3}^{x+2} n^{x}(n-1)^2}{(x+3)^{x+1}(x+2)}=L_3 \implies L_2= \frac {1+L_3}{e}$
entonces de nuevo por Cesaro-Stolz obtenemos
$$ \frac {a_x}{b_x}= \frac { \sum_ {n=3}^{x+2} n^{x}(n-1)^2}{(x+3)^{x+1}(x+2)} \implies \frac {a_{x+1}-a_x}{b_{x+1}-b_x} = \frac { \sum_ {n=3}^{x+3} n^{x+1}(n-1)^2- \sum_ {n=3}^{x+2} n^{x}(n-1)^2}{(x+4)^{x+2}(x+3)-(x+3)^{x+1}(x+2)} = \frac {(x+3)^{x+1}(x+2)^2+ \sum_ {n=3}^{x+2} n^{x}(n-1)^3}{(x+4)^{x+2}(x+3)-(x+3)^{x+1}(x+2)} = \frac {1+ \frac { \sum_ {n=3}^{x+2} n^{x}(n-1)^3}{(x+3)^{x+1}(x+2)^2}}{ \frac {(x+4)(x+3)}{(x+2)^2}(1+ \frac1 {x+3})^{x+1}- \frac1 {x+2}} $$
así que si $ \lim_ {x \to\infty } \frac { \sum_ {n=3}^{x+2} n^{x}(n-1)^3}{(x+3)^{x+1}(x+2)^2}=L_4 \implies L_3= \frac {1+L_4}{e}$
Si suponemos que es cierto que $L_2$ , $L_3$ y $L_4$ existen y $L_2=L_3=L_4$ obtenemos que
$$L_2= \frac {1+L_2}{e} \implies eL_2-L_2=1 \implies L_2= \frac {1}{e-1}$$
y luego
$$L_1= \lim_ {x \to \infty } \frac {(x+3)^x}{ \sum_ {n=3}^{x+2}n^x}= \frac {e}{1+ \frac {1}{e-1}}= \frac {e(e-1)}{e-1+1}=e-1$$
