"Desenrollar" 3d de una cuña

Question

Tengo un paramétrica de la ecuación que describe una determinada intersección en el espacio 3d. Me gustaría aplanar esta deformando el objeto sin que se extiende su longitud, como si este fuera el contorno de una pegatina, y yo se lo que es plana de nuevo. Claramente esto no es posible para un general de la curva, y esto no es posible que incluso la curva en cuestión, excepto a lo largo de uno de los dos ejes. (Es posible que esta curva porque es la intersección de dos cilindros, y es posible "desenrollar" la longitud de un cilindro recto en un rectángulo.)

Yo había considerado el uso de la longitud de arco de la fórmula dx' = $\sqrt{dx^2 + dz^2}$. Sin embargo, esto sólo va a dar un valor positivo para el dx' y dx tiene claramente positivos y negativos de las partes.

¿Cuál es la forma correcta de realizar esta operación, y ¿qué es esta llamada?

Si estás interesado o su relevancia, la ecuación de esta curva es:

$$\begin{split} x(t) &= b \cos(t) \\ y(t) &= b \sin(t) \\ z(t) &= \sqrt{a^2 - b^2 \sin^2(t)} \end{split}$$

Que es la intersección de los cilindros:

$$\begin{split} x^2 + y^2 &= b^2 \\ x^2 + z^2 &= a^2 \\ \end{split}$$

Donde $b < a$. Y el plano de lo que estoy tratando de desenrollar es la definida por la segunda de las dos ecuaciones.

Answer 1

Dado que sólo tenemos a desenrollar en el $x$-dirección, podemos corregir algunos $y_0$ y la mirada en el avión $y=y_0$. Deje $x_0$ ser la mitad de la longitud de la curva definida por la intersección de la superficie y en este plano, y $f(x_0)$ a ser la mitad del ancho de la franja definida por el cilindro con un radio de $b$ e este plano. Aquí está una foto del plano: A partir de esto, conseguimos $f(x_0)=\sin(\varphi)a=\sin(\frac{x}{a})a$.

Geométricamente, si desenrollar su superficie, que se desenrolla de una parte de la circunferencia en esta foto, así que usted recibe 1-disco de radio $x_0$, y para salir de $x_0$ al valor de la coordenada x de la frontera de este disco antes de desenrollar, tiene que aplicar el $f$. Por lo $f$ no modelo de su operación de desenrollar, pero a la inversa!

Por qué de esa manera? Porque ahora podemos combinar con nuestra ecuación para el cilindro con un radio de $b$. Es decir, $x^2+y^2=b^2$ tiene que ser satisfechas para que el no se desenrolla de la curva, por lo $f^2(x)+y^2=b^2$ es nuestra condición para el desenrollado de la curva, o deletreado: $\sin^2(\frac{x}{a})a^2+y^2=b^2$.

Por último, es posible que desee agregar la condición secundaria $|x|<a\frac{2\pi}{4}$ a asegurarse de que solamente se desenrolle desde la mitad superior del cilindro, y sólo obtener soluciones que tienen sentido de acuerdo a la geometría del razonamiento anterior. (Pero también se puede encontrar agradable interpretaciones geométricas de las soluciones que usted recibe, sin esta condición secundaria, y que se mantiene válida incluso para $b\geq a$.)