Multiplicadores de Lagrange del infierno - extreme edition

Question

Cuando yo era un joven e inocente niño, hace un par de años, he publicado esta pregunta en los Multiplicadores de Lagrange - multiplicadores de Lagrange del infierno

4 años después, no ha cambiado mucho.

Deje $\Gamma$ ser la intersección del elipsoide $\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{a_2^2}+\frac{z^2}{a_3^2} = 1$ y el avión $b_1x+b_2y+b_3z=0$.

Queremos encontrar los puntos en $\Gamma$ que están más cerca del origen, y que está más alejado del origen.

Lo que he intentado:

Queremos encontrar condicional extremo de $f(x,y,z)= \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)$ dadas las limitaciones de $g_1(x,y,z) = \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{a_2^2}+\frac{z^2}{a_3^2} -1 = 0$ $g_2(x,y,z) = b_1x+b_2y+b_3z = 0$

Por lo tanto, nuestro sistema es la siguiente:

$\begin{cases}(x,y,z) = \lambda_1(\frac{2}{a_1^2}x, \frac{2}{a_2^2}y, \frac{2}{a_3^2}z) + \lambda_2(b_1,b_2,b_3) \\ \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{a_2^2}+\frac{z^2}{a_3^2} -1 = 0 \\ b_1x+b_2y+b_3z = 0\end{cases}$

hay varios enfoques que puede tomar ahora. Ninguno son muy buenas.

El tentador es decir $x = \frac{-b_2y-b_3z}{b_1}$ a deshacerse de al menos una variable, pero, por desgracia, no sabemos si $b_1 \neq 0$. Sabemos que al menos uno de $b_1,b_2,b_3 \neq 0$, pero no sabemos cual.

Otro enfoque sería decir $x^2 = a_1^2 - \frac{a_1^2}{a_2^2}y^2 - \frac{a_1^2}{a_3^2}z^2$

Combine esto con el hecho de que $b_1^2x^2 = (-b_2y-b_3z)^2$ y consigue $a_1^2b_1^2 - \frac{a_1^2b_1^2}{a_2^2}y^2 - \frac{a_1^2b_1^2}{a_3^2}z^2 =(-b_2y-b_3z)^2 $

Pero ahora tenemos una ecuación que tiene tanto $y,z$$y^2,z^2$, que no se ve muy prometedor.

Un tercer enfoque sería abandonar por completo $x,y,z$ y pasar sobre el mundo de las lambdas: $x_1 = \frac{a_1^2b_1\lambda_2}{a_1^2-2\lambda_1}$ etc.

De nuevo nos topamos con el problema de tener que dividir en los casos donde $a_1^2 = 2\lambda_1$ O $a_2^2 = 2\lambda_1$ O $a_3^2 = 2\lambda_1$.

Este es un straggering cantidad de combinaciones para comprobar y casos a split.

Yo estoy haciendo algo realmente malo.

Una aproximación final pensé fue, tal vez, tratando de parametrizar el $\Gamma$ como sabemos que es una elipse. Pero nosotros no podemos hacer eso de verdad si no sabemos cuál $b$ no es cero.

4 años han pasado, todo lo que he hecho es aumentar el dolor.

Answer 1

Definir parámetros de la elipse, podemos elegir una base para el plano que es

• $v_1=(b_2,-b_1,0)$
• $v_2=(0,b_3,-b_2)$

a continuación, el genérico de los puntos del plano es

• $P(s,t)=sv_1+tv_2=(sb_2,-sb_1+tb_3,-tb_2)$

Entonces, el problema a resolver se convierte en dos variables

$$\begin{cases}f(s,t)=(sb_2)^2+(-sb_1+tb_3)^2+(-tb_2)^2\\\frac{(sb_2)^2}{a_1^2}+\frac{(-sb_1+tb_3)^2}{a_2^2}+\frac{(-tb_2)^2}{a_3^2} =1\end{cases}$$

Otra posible estrategia podría ser llevar a cabo una rotación del sistema de tal modo que el plano coincide con el plano x-y con ecuación z=0. De esta manera se obtiene un equivalente problema de dos variables.

Para la rotación podemos asumir como base el vector normal al plano $v_3=(b_1,b_2,b_3)$ el vector $v_1$ ortogonal a $v_3$ y acostado en el plano x-y y $v_2=v_3\times v_1$.

La rotación se puede obtener

• $v_1 \to x$
• $v_2 \to y$
• $v_3 \to z$

que es la inversa de la matriz $M=[v_1\quad v_2 \quad v_3]$.

Pero creo que el primer método conduce a algo más simple.