Hay cualquier número de con $2017$ divisores cuya suma de dígitos es $2017$?

Question

Hay cualquier número de con $2017$ divisores cuya suma de dígitos es $2017$?

Sabemos que $2017$ es el primer y cualquier número de satisfacer las condiciones requeridas es de la forma $p^{2016}$ donde $p$ es un número primo. A partir de aquí yo no podía hacer ningún progreso.

Cualquier ayuda o referencia, se agradecería.

Answer 1

Heurística argumento

Se han identificado correctamente que el número debe ser de la forma $p^{2016}$ donde $p$ es un primo.

De Wolfram, $$\begin{array}{c|c}\text{number}&2^{2016}&3^{2016}&5^{2016}&7^{2016}&11^{2016}&13^{2016}&17^{2016}&19^{2016}\\\hline\text{sum of digits}&2656&4293&6211&7552&9559&10126&11539&11584\end{array}$$ Por lo tanto no podemos esperar que cualquier número de tales propiedades; de lo contrario, al menos, $2746-2017=729$ dígitos tiene que ser$0$, para el siguiente número posible $23^{2016}$ (y todos los demás dígitos deben ser $1$), lo cual es extremadamente raro.