Sea una matriz $3 \times 3$ que tenga los elementos $1,2,\dots,9$. ¿Cuál es el valor máximo que puede tener el determinante?
He encontrado el valor deseado y una sensación/intuición intuitiva de por qué eso debe ser óptimo. Sin embargo, me cuesta realmente demostrar esa afirmación.
En la Enciclopedia en Línea de Secuencias de Enteros, se tabula el valor máximo para matrices de $n\times n$ para $n\le7$. Se dan límites para $8\le n\le10$, y se proporciona un límite superior válido para todos los $n$. Se da una referencia y un enlace a Ortwin Gasper, Hugo Pfoertner y Markus Sigg, Un Límite Superior para el Determinante de una Matriz con una Suma de Entradas dada y una Suma de Cuadrados, JIPAM, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Volumen 10, Issue 3, Artículo 63, 2008.
412 es correcto para $n=3$.
Gracias por la respuesta. ¿Tienes alguna idea sobre el determinante positivo mínimo? Supongo que es 1 para $ n \geq 3 $.
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¿Cuál es el valor y cuál es tu enfoque?
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Buena pregunta. También estoy interesado en el valor mínimo.
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El valor es $412$. Mi enfoque, bueno, hay una "parte positiva" y una "parte negativa" de la suma. Mediante la desigualdad de reordenamiento, podemos ver que la parte positiva se maximiza con $9 \cdot 8 \cdot 7 + 6 \cdot 5 \cdot 4 + 3 \cdot 2 \cdot 1$. Con un enfoque heurístico, algo de intuición y reordenamiento, se obtiene una expresión mínima para esta disposición. Por intuición, esto debería ser óptimo. Aparentemente, también lo es. No incluí esto en el post inicial para no arruinar la sorpresa de las personas interesadas.
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El valor mínimo positivo sería $1$. En cuanto al valor mínimo, ¿no debería ser simplemente el negativo del valor máximo por simetría?
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@Kezer Tienes razón. Si se encuentra el valor máximo, el negativo debe ser su valor menos porque intercambiar dos filas multiplica su determinante por $-1$. Por lo tanto, tiene sentido considerar el valor positivo mínimo, y dijiste que es $1$. Me gustaría ver también tu respuesta positiva mínima.
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@ChoF Acabo de darme cuenta de que calculé mal, pensé que obtuve $1$ pero en realidad la respuesta en ese determinante es $0$, lo siento, ¡fue mi error! Eso hace que la pregunta sobre el valor positivo mínimo sea interesante: supongo que es aún más difícil de encontrar que el valor máximo. En cuanto a mi respuesta, arriba he publicado el enfoque, ¿qué te gustaría que sea más claro? Una vez más, solo tengo un enfoque intuitivo y no una demostración, por eso estoy preguntando en este foro.
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Duplicado de math.stackexchange.com/questions/1465627/…