La respuesta es no , usted no puede conseguir a cada número racional. Por ejemplo, usted no puede obtener el número de $2$. Voy a tener que utilizar Bertrand postulado para explicar por qué:
Para cada $n>1$ no debe ser un primer $p$ tal que $n < p < 2n$. O escrito de forma ligeramente diferente, por cualquier $n > 2$ no debe ser un primer $p$ tal que $\lfloor n/2 \rfloor < p < n$.
Supongamos que usted tiene una torre ecuación de tamaño $n$. Usted puede resolver todos los paréntesis en su torre de ecuación y escribir como una fracción propia
$$\frac{k_1 \dotsb k_\ell}{k_{\ell+1} \dotsb k_n}\,.$$
donde el$k_i \in \{1, \dotsc, n\}$$k_i = k_j \implies i = j$, por lo que el $k_i$ son sólo algunos de pedidos de $\{1, \dotsc, n\}$. Uno de estos valores de $k_i$ debe ser un primer $p$ $\lfloor n/2 \rfloor$ $n$ tal que $p$ no divide a cualquiera de los otros números $\{1, \dotsc, n\}$ además de a sí mismo. Así, en su facción, no será exactamente un factor de $p$ en el numerador o el denominador. Si el tamaño de la $n$ es de al menos cuatro, esta excelente no $2$, y ya podemos escribir todos los valores de la torre ecuaciones de tamaño cuatro o menos (ver TheSimpliFire la respuesta) y ver que el valor de $2$ no aparece, $2$ no puede aparecer por un mayor tamaño de la torre porque de este "no-cancelables" prime $p \neq 2$ que debe aparecer en el numerador o el denominador.
He aquí una relación de pensamiento que tuve acerca de esta cuestión. Yo no ver de inmediato cómo se puede ayudar a responder a la pregunta, pero esto no significa que el número de la torre de ecuaciones de tamaño $n$ $n^{\text{th}}$ catalán número.
Pensar en la construcción de una torre como escribir su gran fracción sin paréntesis y, a continuación, la elección de la "parte superior" de la barra de fracción, la división de su torre en dos pequeñas torres, el numerador y el denominador, y luego de continuar con este proceso de forma recursiva en esas dos pequeñas torres. Hacer esto en una torre de tamaño $n$ construye un árbol binario completo con $n$ hojas, los numeradores correspondiente a la izquierda de las ramas y los denominadores correspondientes a derecho en ramas, y las hojas etiquetados en orden de izquierda a derecha con los números de $\{1, \dotsc, n\}$. A continuación, el número que la torre es igual puede ser calcated del árbol como
$$\prod_{i\in\{1, \dotsc, n\}} (-1)^{r_i}i$$
donde $r_i$ es el número de "vueltas a la derecha" o "de derecha "ramas" del árbol que tendría que tomar para llegar a la hoja de $i$.
