Spivak ' s cálculo: Capítulo 1, problema 18b (factor cuadrático menos de cero)

Question

El problema en cuestión es el siguiente:

18b Supongamos que $b^2 -4c \lt 0$. Demostrar que no hay números de $x$ que satisfacer $x^2 + bx + c = 0$; de hecho, $x^2 + bx + c \gt 0$ todos los $x$. Sugerencia: completar el cuadrado.

Tratando de aplicar la sugerencia, empecé por la construcción de $b^2 - 4c < 0 \therefore (b-\frac{2c}{b})^2 - \frac{4c^2}{b^2} \lt 0$, pero la manipulación de esta, en definitiva, sólo conduce a $b^2 \lt 4c$ que no tenía necesidad de completar el cuadrado para llegar de todos modos.

La única otra idea que yo tenía era que se podría construir la ecuación cuadrática a partir de la suposición de que $x^2 + bx + c = 0$ y, a continuación, ir a por una prueba por contradicción, por ejemplo,

$x^2 + bx + c =0$

$x^2 + bx = -c$

$x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 = -c + (\frac{b}{2})^2$

$(x + \frac{b}{2})^2 = \frac{b^2 - 4c}{4}$

$\therefore$ Dado que para todos los valores reales de a $x$ y $b$, $(x + \frac{b}{2})^2 \gt 0$, por transitividad de la igualdad, $\frac{b^2 - 4c}{4} \gt 0$

$\therefore 4(\frac{b^2 - 4c}{4}) \gt 4(0)$

$\therefore b^2 - 4c \gt 0$ para todo x tal que $x^2 + bx + c = 0$

Pero que deja a la afirmación "en realidad, $x^2 + bx + c \gt 0$ todos los $x$" no se ha probado, a menos que se supone, obviamente, seguir, en cuyo caso yo no estoy viendo cómo.

Answer 1

Esencialmente el mismo manipulaciones algebraicas utilizadas en la segunda parte de su pregunta le dará una prueba sin apuntar a una contradicción.

De hecho, estas manipulaciones le dará que $x^2 + bx + c = (x + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2 - 4c}{4}$. Esto es estrictamente positivo desde $(x + \frac{b}{2})^2 \geq 0$ y $\frac{b^2 - 4c}{4} 0$ cada $x$ que completa la prueba.

Answer 2

Dado que

Answer 3

Desde aquí: $(x + \frac{b}{2})^2 = \frac{b^2 - 4c}{4}$ obtenemos $b^2-4ac \geq 0$ y no $>$. Si $b^2-4c$ su conclusión es correcta.

Answer 4

Supongamos por contradicción que $x^2 + bx + c = 0$para la hipótesis dada el % de $4c > b^2$.

Multiplicando la ecuación dada por %#% produce #% y haciendo uso de nuestra hipótesis:

$4$$

Pero, no podemos tenemos que $$0 = 4x^2 + 4bx + 4c > 4x^2 + 4bx + b^2 = (2x + b)^2$ es estrictamente mayor que un número real al cuadrado. Contradicción. QED.

Answer 5

Totalmente informal enfoque:

considere la posibilidad de $x^2+bx+c$, ahora se diferencian con respecto a $x$ dos veces. Esto le da un valor positivo,lo que indica que la parábola es hacia arriba. Ahora, considere el hecho de que $b^2<4c$, claramente da soluciones imaginarias. Ahora bien, si la parábola no toca la $X$ eje y hacia arriba debía de estar por encima de la $X$ eje, lo que demuestra el hecho de que $f(x)>0$,debido a un repunte parábola cuyos mínimos se encuentra por debajo de la '$X$' eje siempre se cruzan las $X$ eje.