Deje $A$ $B$ $n\times n$ hermitean matrices. Cuando se $e^{iA}=e^{iB}$? Puede que de alguna manera nos clasificar a los pares de matrices que tienen el mismo exponencial?
Aquí algunas observaciones que he hecho:
- Si $A$ $B$ conmuta, entonces la condición se satisface si y sólo si el espectro de la $A-B$ está contenido en $2\pi\mathbb Z$. (En ambas direcciones puede fallar si $A$ $B$ no conmuta, como los dos siguientes puntos muestran.)
- La condición de $e^{iA}=e^{iB}$ también puede ser satisfecho si $A$ $B$ no conmutan. Tomemos, por ejemplo, $A=2\pi\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$B=2\pi\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. No conmutan, sino $e^{iA}=e^{iB}=I$. El espectro de su diferencia no es en $2\pi\mathbb Z$.
- Si $A=\sqrt2\pi\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$B=\sqrt2\pi\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, entonces los autovalores de a $A-B$ $\pm2\pi$ pero $e^{iA}\neq e^{iB}$.
- El exponencial mapa no es un homomorphism por lo que encontrar el kernel no es suficiente; cf. el Panadero-Campbell-Hausdorff fórmula.
- Tener la misma forma exponencial es una relación de equivalencia.
