$\{a,b,c\}\subset \Bbb R$ , $a\not =b$ y $a^2(b+c)=b^2(a+c)=2010$ . Encuentre $c^2(a+b)$

Question

Considera que $\{a,b,c\}\subset \Bbb R$ con $a\not =b$ y se sabe que $a^2(b+c)=b^2(a+c)=2010$ .

Encuentre $c^2(a+b)$ .

Una pregunta de la tercera fase de la OBM 2010 (Olimpiada Brasileña de Matemáticas). Lo siento si es un duplicado. Mis desarrollos están llevando a algunas expresiones complicadas... probablemente un enfoque equivocado. Se agradecen los consejos y las respuestas.

Answer 1

Observe que: $$ a^2(b+c)-b^2(a+c)=0 $$ Ampliándolo, obtenemos $$ a^2b+a^2c-b^2a-b^2c=0 $$ Factorizando obtenemos, \begin{align} ab(a-b)+c(a^2-b^2)&=0\\ ab(a-b)+c(a-b)(a+b)&=0\\ (a-b)(ab+c(a+b))&=0. \end{align} Desde $a\not=b$ se deduce que $$ c(a+b)=-ab $$ o que $$ c^2(a+b)=-abc. $$

Tomemos la primera ecuación $$ a^2(b+c)=2010 $$ y ampliarlo: $$ a^2b+a^2c=2010. $$ Sustituir $-c(a+b)=ab$ para conseguir $$ -ac(a+b)+a^2c=2010. $$ Ampliando esto, obtenemos $$ -a^2c-abc+a^2c=2010. $$ Por lo tanto, $$ -abc=2010, $$ que sabemos que es $$ c^2(a+b). $$

Answer 2

Tenemos \begin{eqnarray*} a^2b +a^2 c =2010 \\ a b^2+b^2 c =2010. \end{eqnarray*} Reste estas ecuaciones ( y utilice $ a \neq b$ ) tenemos $ab+bc+ca=0$ así que \begin{eqnarray*} c= - \frac{ab}{a+b}. \\ \end{eqnarray*} Ahora multiplica la primera ecuación por $b^2$ y el segundo por $a^2$ y restar ( y de nuevo utilizar $ a \neq b$ ), tenemos \begin{eqnarray*} a^2b^2 =2010 (a+b). \\ \end{eqnarray*} Ahora \begin{eqnarray*} c^2 (a+b)= \frac{a^2b^2}{a+b}= \color{blue}{2010}. \\ \end{eqnarray*}

Answer 3

Tenemos $$c=\frac{2010}{a^2}-b$$ y $$c=\frac{2010}{b^2}-a$$ de aquí obtenemos $$2010(b^2-a^2)=a^2b^2(b-a)$$ o $$b+a=\frac{a^2b^2}{2010}$$ y como $$c^2(a+b)=-abc$$ obtenemos $$b+a=\frac{\frac{2010^2}{c^2}}{2010}$$ por lo tanto $$c^2(a+b)=2010$$