El valor mínimo de $\frac{(x+\frac{1}{x})^6-(x^6+\frac{1}{x^6})-2}{(x+\frac{1}{x})^3+x^3+\frac{1}{x^3}}$

Question

Problema :

El valor mínimo de $$\frac{(x+\frac{1}{x})^6-(x^6+\frac{1}{x^6})-2}{(x+\frac{1}{x})^3+x^3+\frac{1}{x^3}}$$

Puedo usar esto en el numerador y el denominador :

El valor mínimo de $a +\frac{1}{a}$

El uso de A. M y G. M desigualdad :

$a +\frac{1}{a} \geq 2\sqrt{a \times \frac{1}{a}}$

$\Rightarrow a +\frac{1}{a} \geq 2$ .....(1)

Poniendo el valor mínimo de (1) en $\frac{(x+\frac{1}{x})^6-(x^6+\frac{1}{x^6})-2}{(x+\frac{1}{x})^3+x^3+\frac{1}{x^3}}$

obtenemos ; $\frac{2^6-2-2}{2^3+2}$ pero creo que esto está mal, especialmente denominador como necesitamos encontrar el valor máximo de denominador para obtener el valor mínimo.

Por favor, sugiera ,gracias.

Answer 1

sugerencia: dejar $$f(x)=\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^6-\left(x^6+\dfrac{1}{x^6}\right)-2}{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3+x^3+x^{-3}}=3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\ge 6$$

porque $$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^6-\left(x^6+\dfrac{1}{x^6}\right)-2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^6-\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^2$$ así $$f(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)=3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$$

Answer 2

Aquí es una manera de ir sobre ella. Queremos expresar$\left(x^6+\frac1{x^6}\right)$ en términos de $\left(x+\frac1x\right)$. $$\left(x+\frac1x\right)^6={x}^{6}+6{x}^{4}+15{x}^{2}+20+\frac{15}{x^2}+\frac{6}{x^4}+\frac1{x^6}$$ Podemos quitar el $x^4$ $\frac1{x^4}$ términos restando $6\left( x+\frac1x\right)^4$, lo que da $$\left(x+\frac1x\right)^6-6\left( x+\frac1x\right)^4={x}^{6}-9{x}^{2}-16-\frac{9}{x^2}+\frac1{x^6}$$ De continuar con este proceso y mediante la sustitución de $u=x+\frac1x$ conduce a $$x^6+\frac1{x^6}=\left(x+\frac1x\right)^6-6\left(x+\frac1x\right)^4+9\left(x+\frac1x\right)^2-2=u^6-6u^4+9u^2-2$$ y del mismo modo $$x^3+\frac1{x^3}=\left(x+\frac1x\right)^3-3\left(x+\frac1x\right)=u^3-3u$$

Ahora usted tiene la función de $$f(x)=\frac{\left(x+\frac{1}{x}\right)^6-\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right)-2}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^3+\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)}=\frac{u^6-(u^6-6u^4+9u^2-2)-2}{u^3+(u^3-3u)}$$ $$=\frac{6u^4-9u^2}{2u^3-3u}=3u=3\left(x+\frac1x\right)$$

Desde $x+\frac1x\geq2$, el valor mínimo de $f(x)$ es lo $6$.