Empiece con un grupo gratuito en $n$ generadores, $F=\langle a_1,\ldots, a_n\rangle$ . Si escribo una palabra, $w$ en estos generadores, ¿existe un algoritmo eficiente para determinar si $w$ puede extenderse a una base libre de $F$ ?
Tengo algunos comentarios y resultados parciales, pero ningún algoritmo eficiente.
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Si alguna letra aparece sólo una vez (y elevada a la primera potencia), entonces podemos extender la palabra a una base (sólo hay que tomar el resto de la base como los otros generadores). Esto no es necesario ya que $c^2bcabab$ puede extenderse a una base de $F_3$ .
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Si la palabra forma parte de una base, entonces la proyección a la abelianización debe ser un vector primitivo. Otra forma de decir esto es que si el vector en $\mathbb{Z}^n$ con el $i$ -ésima entrada igual a la suma de los exponentes de $a_i$ en $w$ no debe ser un $\mathbb{Z}$ -múltiplo de otro vector en $\mathbb{Z}^n$ . Esto no es suficiente porque $a^2b^2a$ no forma parte de una base de $F_2$ .
Editar: Dado un grupo $H=\langle w_1,w_2,\ldots,w_k\rangle\leq F_n$ existe un algoritmo, debido a Stallings, para determinar una base libre para $H$ . Un algoritmo (terriblemente ineficiente) consiste en enumerar todas las bases posibles formadas a partir de palabras reducidas de longitud inferior a $w$ y ejecutando el algoritmo de Stallings en cada uno de ellos. Estoy pidiendo un algoritmo que pueda ser razonablemente implementado.
