Como mi más reciente pregunta todavía no tiene respuestas y parece ser un problema difícil, propongo el siguiente problema (que parece más fácil), pero que todavía no he podido resolver:
¿Es cierto que por cada $k \in \mathbb{N}$ existen números naturales distintos $x_1, \cdots, x_k$ tal que $\phi(x_1)=\phi(x_2)=\cdots=\phi(x_k)$ , donde $\phi$ es la función totiente de Euler?
¿Alguna idea? Gracias.
Dejemos que $N(x)$ sea el número de valores diferentes de $\phi(n)$ que son $\le x$ . Pillai ( El toro. Amer. Math. Soc. Volumen 35, Número 6 (1929), 832-836 ) demostró que $N(x) = O(x/(\log x)^t)$ donde $t = \log(2)/e$ . En particular, $N(x)/x \to 0$ como $x \to \infty$ . Si se toma $x$ lo suficientemente grande como para que $N(x)/x < 1/k$ , entonces por el Principio de Colocación algunos $k$ números naturales $\le x$ debe tener el mismo valor de $\phi$ .
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