$f_n$ converge uniformemente a f, pero $f^2_n$ no converge uniformemente a $f^2$

Question

Considere la secuencia funcional $f_{n}$ que es diferenciable en a $\left(a,b\right)$. Encontrar un ejemplo de $f_n$ convergen uniformemente a f en $\left(a,b\right)$ tal que $f^2_n$ no convergen uniformemente a$f^2$$\left(a,b\right)$.

Tengo dificultad con la realización de dicha secuencia. Podría usted por favor ayuda? Sé el teorema de que, para preservar la convergencia uniforme de dos secuencias debe estar acotada, por lo tanto, creo que el ejemplo podrían ser algunas de las ataduras de la secuencia funcional.

Answer 1

Tomar cualquier ilimitado $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ y considerar la posibilidad de una secuencia $f_n :(a,b)\to\mathbb{R}$, $f_n (\xi ) =f(\xi ) +n^{-1} .$ Entonces $$\lambda_n =\sup_{\xi\in (a,b )} |f_n (\xi ) -f(\xi )|\leqslant n^{-1} \to 0$$ hence $f_n \a f$ uniformly but $$\varepsilon_n =\sup_{\xi\in (a,b )} |(f_n (\xi ))^2 -(f(\xi ))^2|=\sup_{\xi\in (a,b )} |-2n^{-1} f(\xi ) +n^{-2}| =\infty$$ hence $(f_n )^2 \a (f)^2 $ no de manera uniforme.