$1$ mapa a$1$, ¿verdad? Por lo $n$ mapa a $n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ ), y $\frac{1}{n}$ mapas a $\frac{1}{n}$, lo $\frac{n}{m}$ se asigna a sí mismo, por lo que la única posible automorphism es la identidad. Es esto cierto o me estoy engañando a mí mismo? Porque siento que no debería ser definitivamente más automorfismos de a $\mathbb{Q}$.
También, si usted tiene alguna extensión de $\mathbb{Q}$ ( $E$ ), que hace a cada automorphism de $E$ automáticamente fix $\mathbb{Q}$?
Cuando uno dice "automorfismos", es importante especificar los automorfismos de lo que. Hay un montón de automorfismos de a $\mathbb{Q}$ como un grupo abelian (equivalentemente, como un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial).
Sin embargo, existe uno y sólo un campo de automorphism (equivalentemente, uno y sólo uno de anillo automorphism). En efecto: Si usted está haciendo un anillo automorphism, a continuación, $1$ se debe asignar a un idempotente (un elemento igual a su cuadrado); sólo hay dos idempotents en $\mathbb{Q}$, $1$ y $0$; pero si usted mapa de $1$$0$, entonces usted mapa de todo a $0$ y el mapa no es un automorphism. Por lo $1$ se debe asignar a $1$ (puede omitir este paso si su definición de "homomorphism de los anillos" requiere que usted mapa de $1$$1$).
Desde $1$ mapas a $1$, por inducción se puede mostrar que para cada número natural $n$, $n$ los mapas de a $n$. Por lo tanto, $-n$ se debe asignar a $-n$ (desde el mapa envía inversos aditivos para inversos aditivos), y debe enviarse $\frac{1}{n}$ $\frac{1}{n}$(debido a que los mapas de $1 = n(\frac{1}{n})$ $n$veces la imagen de $\frac{1}{n}$, y la única solución a $nx = 1$$\mathbb{Q}$$x=\frac{1}{n}$. Y de aquí se obtiene que cualquier campo automorphism de $\mathbb{Q}$ debe ser la identidad.
En cuanto a su segunda pregunta, sí: si $E$ es una extensión de $\mathbb{Q}$, entonces cualquier campo automorphism de $E$ restringe a la identidad automorphism de $\mathbb{Q}$. Más generalmente, si $E$ es cualquier campo, entonces cualquier automorphism de $E$ restringe a la identidad de su primer campo (que es $\mathbb{Q}$ en el caso de característica 0, y $\mathbb{F}_p$ en el caso de la característica $p$).
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