Estoy teniendo dificultades para entender el concepto de un punto de ramificación de una multifunción. Típicamente, se explica de la siguiente manera:punto de ramificación es un punto tal que la función es discontinua cuando se va alrededor arbitrariamente un pequeño circuito en torno a este punto. Lo que soy incapaz de entender es qué tiene de especial el conjunto de puntos que rodea este punto en particular? Si tengo un circuito cerrado en algún lugar en el plano, la función no es multivalor en este bucle. Pero si yo traduzco para encerrar este punto, entonces la función se convierte en varios valores. Por qué? Inicialmente se pensó que podría ser debido a que si este punto de ramificación es mi punto de referencia, a continuación, como correr sobre el bucle estoy corriendo sobre los valores del 0 al 2$pi$. Pero si puedo mover mi punto de referencia en algún lugar dentro del bucle esto sigue siendo verdad por encima de cualquier lazo cerrado. Por favor alguien puede ayudarme? Una pregunta similar se preguntó, pero por desgracia no recibir ny respuestas. OP se recomienda leer la página de la wiki que tengo.
Respuestas
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(Descargo de responsabilidad: Lo que sigue no es estándar y se imaginó que después de pensar acerca de anafunctors todo el día.)
Primero que todo, permítanme definir algunos conceptos. Voy a suponer que la familiaridad con la escuela primaria de punto de ajuste de la topología.
Definición. Deje $X$ $Y$ ser espacios topológicos. Una relación continua entre el $X$ $Y$ es un triple $(R, \sigma, \tau)$ que consta de un espacio topológico $R$ y continua de los mapas de $\sigma : R \to X$$\tau : R \to Y$.
Esta es una generalización de la noción habitual de una relación entre dos conjuntos: de hecho, recordemos que una relación en $X$ $Y$ es sólo un subconjunto $R \subseteq X \times Y$, y cualquier subconjunto es automáticamente equipado con proyección continua de los mapas a$X$$Y$.
También, al igual que una función es un tipo especial de relación en la teoría de conjuntos, una función continua es un tipo especial de relación continua: cada función continua $f : X \to Y$ induce una relación continua $(X, \textrm{id}, f)$, y cada relación continua $(R, \sigma, \tau)$ $\sigma : R \to X$ un homeomorphism induce una función continua $\tau \circ \sigma^{-1} : X \to Y$.
Ejemplo. Deje $X = Y = \mathbb{C}$, y deje $R = \{ (x, y) \in \mathbb{C}^2 : y = x^2 \}$. A continuación, $R$ junto con la canónica proyecciones tiene una relación continua entre el$\mathbb{C}$$\mathbb{C}$. Tenga en cuenta que es no una función, ya que la proyección de $(x, y) \mapsto x$ no es un homeomorphism aquí. (Ni siquiera es un bijection!) Luego veremos que es un ramificada continua multifunción, sin embargo.
Definición. Un no ramificados continua multifunción $F : X \nrightarrow Y$ es una relación continua $(R, \sigma, \tau)$ tal que $\sigma$ es surjective y un local homeomorphism.
Esto hace que $R$ en lo que se llama un espace étalé $X$. Aquí están algunos hechos generales acerca de tales espacios:
La proposición. Deje $\sigma : R \to X$ ser un surjective local homeomorphism.
Para cada punto de $x$$X$, la fibra de $R_x = \sigma^{-1} \{ x \}$ no está vacía y tiene la topología discreta.
El mapa de $\sigma : R \to X$ tiene la ruta de elevación de la propiedad: es decir, si $\gamma : [0, 1] \to X$ ser un camino continuo y $x = \gamma (0)$, entonces para cualquier $\tilde{x}$$R_x$, no hay un único camino continuo $\tilde{\gamma} : [0, 1] \to R$ tal que $\sigma \circ \tilde{\gamma} = \gamma$$\tilde{\gamma}(0) = x$.
Ejemplo. Vamos $X = \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$, $Y = \mathbb{C}$, y definir $$R = \{ (x, y) \in \mathbb{C}^2 : x \ne 0, y^2 = x \}$$ Vamos $\sigma : R \to X$, $\tau : R \to Y$ ser la primera y segunda proyecciones, respectivamente. Obviamente, $\sigma$ es surjective, y con un poco de trabajo se puede demostrar que $\sigma$ es un local homeomorphism: después de todo, eso es exactamente lo que significa ser capaz de tomar una raíz cuadrada a nivel local. Por lo tanto, $(R, \sigma, \tau)$ es un no ramificados multifunción.
Ahora, vamos a $\gamma : [0, 1] \to X$ ser el círculo unidad, con $\gamma(0) = 1$. Explícitamente, $$\gamma (t) = \exp (2 \pi t i)$$ Uno fácilmente se comprueba que $(1, 1) \in R$, así que por el camino de la elevación de la propiedad hay un camino único a $\tilde{\gamma} : [0, 1] \to R$ se encuentra por encima del $\gamma$. Aquí tenemos suerte y hay un explícito fórmula: $$\tilde{\gamma} (t) = (\exp (2 \pi t i), \exp (\pi t i))$$
¿Qué es el 'valor' de la multifunción a lo largo de este camino? Es sólo $\tau \circ \tilde{\gamma}$, por supuesto. Pero enseguida se ve que \begin{align} \tau(\tilde{\gamma}(0)) & = +1 \newline \tau(\tilde{\gamma}(1)) & = -1 \end{align} Así que a pesar de $\tilde{\gamma}$ es un ascensor de los de lazo cerrado $\gamma$, $\tilde{\gamma}$ en sí no es un bucle cerrado! Es precisamente esto lo que lleva a que el fenómeno que alude en su pregunta: en el más avanzado de los términos, esto es simplemente la observación de que la inducida por el mapa de los grupos de $\sigma_* : \pi_1(R, \tilde{x}) \to \pi_1(R, x)$ no es un isomorfismo. Cuando esto sucede, decimos $\sigma$ no trivial monodromy.
Ejemplo. Más en general, existe una noción de cubrir el espacio de $X$. Si $R$ es una cubierta espacio de $X$ con cobertura de mapa de $\sigma : R \to X$, $(R, \sigma, \textrm{id})$ es un no ramificados continua multifunción $X \nrightarrow R$.
Por último, vamos a definir las nociones en cuestión a sí mismos.
Definición. Un (ramificada) continua multifunción $F : X \nrightarrow Y$ es una relación continua $(R, \sigma, \tau)$ con las siguientes propiedades:
- El mapa de $\sigma$ es surjective.
- El conjunto $$U = \{ x \in X : \sigma \text{ is a local homeomorphism at each point in the fibre } R_x \}$$ es un denso abierto subconjunto de $X$.
- La restricción $(\hat{R}, \sigma |_{\hat{R}}, \tau |_{\hat{R}})$ es un no ramificados continua multifunción, donde $\hat{R} = \sigma^{-1} U$.
Una ramificación punto es un punto de $\tilde{x}$ $R$ tal que $\sigma$ falla al ser un local homeomorphism. Un punto de ramificación es un punto de $x$ $R$ tal manera que hay un punto de ramificación $\tilde{x}$$\sigma(\tilde{x}) = x$. Se observa que en la anterior notación, $X \setminus U$ es, precisamente, el conjunto de los puntos de ramificación de $F$: de manera que se establezca que el conjunto de puntos de ramificación es denso en ninguna parte.
La proposición. Si $F : X \nrightarrow Y$ es un ramificada continua multifunción, y $x$ no es un punto de ramificación, entonces existe un abierto de vecindad $U$ y un mapa de la $\phi : U \to R$ tal que $\sigma \circ \phi$ es la identidad en $U$, e $\tau \circ \phi : U \to Y$ es una auténtica función continua. Podemos decir $\phi$ es una sección local de $F$.
Esto sigue inmediatamente del hecho de que $\sigma$ es un local homeomorphism por encima de $x$.
Ejemplo. Volviendo al primer ejemplo, donde $X = Y = \mathbb{C}$ y $$R = \{ (x, y) \in \mathbb{C}^2 : y = x^2 \}$$ vemos que $(R, \sigma, \tau)$ define ramificada multifunción: el único punto de ramificación es $(0, 0)$, por lo que el único punto de ramificación es $0$, e $U = \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$ es de hecho un abierto denso subconjunto de $\mathbb{C}$.
Ahora bien, ¿qué tiene que ver esto con bucles cerrados? Pues bien, aquí tenemos a especializarse un poco. Una propiedad de $\mathbb{C}$ es que es localmente simplemente conectado: en efecto, para cada abierto de vecindad $U$ que contiene un punto de $x$, no es un disco centrado en$x$$U$. El monodromy teorema esto implica que, para cualquier surjective local homeomorphism $\sigma : R \to U$, cualquier elevación de cualquier suficientemente pequeño lazo cerrado en $U$ a través de $\sigma$ debe ser de nuevo un bucle cerrado.
Supongamos $\sigma$ tiene la propiedad de que cada fibra $R_x$ es finito. Por lo tanto, si $x$ no es un punto de ramificación, para cada punto de $\tilde{x}$ en la fibra,$R_x$, hay una vecindad $V_{\tilde{x}}$ $\tilde{x}$ tal que $\sigma |_{V_{\tilde{x}}} : V_{\tilde{x}} \to U_{\tilde{x}}$ es un homeomorphism, donde $U_{\tilde{x}}$ es una vecindad de a $x$. Conjunto $$U = \bigcap_{\tilde{x} \in R_x} U_{\tilde{x}}$$ Desde $R_x$ es finito, $U$ está abierto, y por la construcción de $\sigma^{-1} U$ será homeomórficos a $R_x \times U$. Pero $U$ debe contener un abrir disc $D$ centrada en $x$, y está claro que $\sigma^{-1} D$ será homeomórficos a un discontinuo de la unión de un número finito de abrir los discos. De ello se desprende que cada bucle cerrado contenido en $D$ debe levantar a un circuito cerrado en la $\sigma^{-1} D$. Por lo tanto, por contraposición, si $x$ es un punto tal que hay arbitrariamente pequeños bucles cerrados que rodean $x$ que no se levante para circuitos cerrados, $x$ debe ser un punto de ramificación.
No sé si esto te ayudará, pero aquí es un ejemplo.
Pensar acerca de $\sqrt{z}$ va alrededor del origen en el sentido antihorario, $z=re^{i\theta}$, la definición de $\sqrt{r}$ a ser la raíz cuadrada positiva o la no-número real negativo $r$. Entonces es fácil definir $\sqrt{z}$$0\leq\theta<2\pi, r\geq0$,$\sqrt{re^{i\theta}}=\sqrt{r}e^{i\theta/2}$. Pero volviendo todo a la positiva eje real, no es un problema. Ya hemos definido$\sqrt{z}$ no como la raíz cuadrada positiva de $r$, pero la función, tratando de continuar con ella, quiere tomar el valor de $\sqrt{r}e^{\pi i}=-\sqrt{r}$. Así que tienes que ir a el concepto de una superficie de Riemann o varios valores de la función o lo que sea.
Uno puede definir de forma inequívoca $\sqrt{z}$ sobre lo que simplemente se conecta conjunto abierto no contiene el origen (básicamente porque uno puede elegir los valores para el argumento de $\sqrt{z}$, una manera de reducir a la mitad el ángulo). Pero cerca de cero, usted no puede hacer esto de forma continua en un único valor como vimos anteriormente.
