La distancia de desplazamiento de la Tierra es un concepto de la teoría de la probabilidad y la teoría de la información. En pocas palabras, se puede decir que es una medida de distancia entre dos densidades de probabilidad $p_1(x), p_2(x)$ de modo que la probabilidad se desplaza de una densidad a otra a costa de $|x_2-x_1|d(x_1,x_2)$ si $d(x_1,x_2)\in\mathbb R^2\to \mathbb R^1$ es la densidad de probabilidad total desplazada desde el punto $x_1$ a $x_2$ . ( Estoy escribiendo de memoria y la intuición aquí así que por favor me corrija si me equivoco: )
$$d = \min_{d}\left\{\int_{\mathbb R^2} |x_1-x_2| d(x_1,x_2) \right\} \, s.t. \, \cases{f_1(x_1) = \int d(x_1,x)dx\\f_2(x_2)=\int d(x,x_2)dx\\d(x_1,x_2)\geq 0\,\,\, \forall (x_1,x_2)}$$
Así que debemos encontrar la función $d$ que minimice la expresión anterior y además cumpla las restricciones. Si estamos acostumbrados a trabajar con optimización sabemos que podemos reescribir la primera igualdad: $$0 = \int d(x_1,x)dx - f_1(x_1)$$ Y convertirlo en un término en nuestra optimización:
$$+\left\|\int d(x_1,x)dx - f_1(x_1)\right\|$$ Para una elección adecuada de la norma.
Sé de algunos métodos de optimización discreta y heurística (por ejemplo, el algoritmo húngaro) se están utilizando para resolver este problema, pero de alguna manera siento que debería ser posible resolver con ecuaciones diferenciales. ¿Conoces algún método que utilice ecuaciones diferenciales y / o alguna minimización de energía para encontrar la Distancia de los Movimientos de Tierra?
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¿Monge Kantorovich PDE?