No existe número racional $a_n$, $(x^2+\frac{1}{2}x+1)\mid(x^{2n}+a_nx^n+1)$

Question

Deje $n\in \mathbb{N}$. Probar que existe un número racional $a_n$ que $$(x^2+\frac{1}{2}x+1)\mid(x^{2n}+a_nx^n+1)$$

Mi intento :

Yo intente $n=2$,

$(x^2+\frac{1}{2}x+1)(x^2-\frac{1}{2}x+1)=x^4+\frac{7}{4}x^2+1$

$a_2 = \frac{7}{4}$

Answer 1

es solo una idea

Las raíces de la izquierda polynom son

$$x_1=\frac{-1+i\sqrt {15} }{4}=e^{it}$$ $$x_2=\frac {-1-i\sqrt {15} }{4}=e^{-it} $$

también están las raíces de la derecha

$$e^{2int}+a_ne^{int}+1=0$$ $$e^{-2int}+a_ne^{-int}+1=0$$

así $$a_n=-\frac {\sin (2nt)}{\sin (nt)} $$

$$=-2\cos (nt) $$

Por ejemplo, $$a_2=-2\cos (2t)=2 (1-2\cos^2 (t)) $$ $$=2-4\frac {1}{16}=\frac {7}{4} $$

Answer 2

Definimos $$p_n(x)=x^{2n}+a_n\,x^n+1,$$ así que tenemos que demostrar $$\left.x^2+\frac12\,x+1\right|p_n(x).$$ Esto es claramente cierto para$n=1$$a_1=1/2$, y se ha demostrado por $n=2$$a_2=7/4$. Inducción paso: suponemos que es cierto para$n=k-1$$n=k$. Entonces, como puede verse por la expansión de los productos, $$p_{k+1}(x)=(x^{2k}+1)\left(x^2+\frac12\,x+1\right)-\frac12\,x\,p_k(x)-x^2\,p_{k-1}(x),$$ if only $$a_{k+1}=-\frac12\,a_k-a_{k-1},$$ so $$\left.x^2+\frac12\,x+1\right|p_{k+1}(x).$$