El determinante de a $(A+iB)(A-iB)$

Question

Deje $A,B$ $n \times n$ matrices tales que el $A+iB$ es invertible.

Yo quiero probar (si es verdad) que $|A+iB|\cdot|A-iB| >0$

Por supuesto, esto es igual a $\big| (A+iB)(A-iB) \big|>0$, por lo que, multiplicando les da $C= A^2 + iBA -iAB + B^2$

Podemos decir anthing sobre el determinante de a $C$?

Answer 1

La conjugación de los viajes con la adición y la multiplicación (es decir,$\overline{x\cdot y}=\overline x\cdot\overline y$$\overline{x+y}=\overline x+\overline y$), y tomando el determinante es sólo un complicado conjunto de adiciones y multiplicaciones en las entradas, por lo que la conjugación también desplazamientos con la toma de la determinante. Que implica el resultado que usted desea.

Answer 2

Es cierto que $\det(A+iB)\det(A-iB) >0$ de sus matrices. He aquí una posible idea de cómo ver y probar. Sabemos que $A$ $B$ son reales matrices. De esto se deduce que $$ \overline{(A + iB)} = a - iB. $$ Ahora, nos gustaría mostrar que $\overline{\det (M)} = \det(\overline M)$. Si esto es cierto, entonces estamos casi terminado porque $$|A+iB|\cdot|A-iB| = z \overline z = |z|^2$$ para $z=\det(A+iB)$. Invertibiltiy será utilizada para proveer ese $\det(A+iB)\neq 0$.

Ahora queda demostrar que $\overline{\det (M)} = \det(\overline M)$. Esto se deduce del hecho de que el determinante es un polinomio en la matriz de entradas y $\overline{P(z_1,\cdots,z_n)} = P(\overline{z_1},\cdots, \overline{z_n})$ para todos los polinomios $P$ con coeficientes reales.