Este ejercicio es una manera divertida de escribir algunas cosas que he estado haciendo para mi $p$-ádico de la clase.
Teichmuller caracteres. Supongamos $a\in{\bf Z}_p$. A continuación, utilizando el teorema del binomio,
$$\left|\frac{p\cdot p\cdot p\cdots p}{1\cdot 2\cdot 3\cdots k}p^n\cdot(p^n-1)\cdots(p^n-(k-1))\right|_p\le\frac{1}{p^n}, $$
$$\left|(1+pa)^{p^n}-1\right|_p\le \max_{1\le k\le p^n}\left|{p^n\choose k}p^k\right|_p\le\frac{1}{p^n}\to0,$$
y, por tanto, $(1+pa)^{p^n}\to1$ (comparar con $t^\epsilon\to1$ $\epsilon\to0$ $\bf R$ $t$ en un nbhd de $1$). Si $x\in{\bf Z}_p$, $x^{p-1}\in1+p{\bf Z}_p$ (reducir mod $p$ e invocar el teorema de Euler), por lo tanto $(x^{p^n})_{n=0}^\infty$ es de Cauchy y tiene un límite en el $p$-ádico enteros, ya que $x^{p^{n+1}}-x^{p^n}=x^{p^n}\left((x^{p-1})^{p^n}-1\right)$. En un ultrametric espacio, la distancia entre los términos sucesivos tienden a $0$ es suficiente para ser de Cauchy. Desde la multiplicación y, por tanto, fija poderes son, por definición, continua en topológico, anillo, $x\mapsto x^p$ es continuo, de modo que
$$\omega(x):=\lim\limits_{n\to\infty}x^{p^n}\implies \omega(x)^p=\left(\lim_{n\to\infty} x^{p^n}\right)^p=\lim_{n\to\infty}x^{p^{n+1}}=\omega(x),$$
en cuyo caso tenemos $\omega(x)^{p-1}=1$ al $\omega(x)$ es una unidad. Desde $x^p\equiv x\bmod p$, e ${\bf Z}_p\to{\bf Z}/p{\bf Z}$ es un continuo topológico anillo homomorphism (el último de ellos, discreto topología), $\omega(x)\equiv x\bmod p$.
Esto nos dice que la imagen de las unidades bajo $\omega$ se compone de la $(p-1)$th raíces de la unidad. La elección de los representantes de ${\bf F}_p$ dentro ${\bf Z}_p$, esto también nos da un homomorphism ${\bf F}_p^\times\to{\bf Z}_p^\times$ cuya imagen se compone de la Teichmuller representantes.
La unidad de los grupos. $U(n):=({\bf Z}/n{\bf Z})^\times$ (que no debe confundirse con unitaria de los grupos). El CRT nos permite clasificar a estos en términos de $U(p^r)$ para el primer potencias $p^r$; tenemos $U(p^r)\cong C(p-1)\oplus C(p^{r-1})$$p>2$$U(2^r)\cong C(2)\oplus C(2^{r-2})$$r>1$, $C(n)$ lo que significa que el grupo cíclico de orden $n$.
De raíces primitivas. Deje $p$ ser un extraño prime. Desde ${\bf F}_p^\times$ es cíclico, hay un generador (de hecho, hay $\phi(p-1)$ generadores). Tales raíces primitivas siempre va a levantar a las raíces primitivas modulo arbitrariamente altas potencias de $p$ (véase el lema 14 aquí).
Inverse límites. Hay una definición de ${\bf Z}_p:=\varprojlim\,{\bf Z}/p^n{\bf Z}$ (véase aquí para una buena exposición sobre proyectiva límites en la categoría de topológica de los anillos). Tomando inversa de los límites de los viajes directos con sumas y tomando de la unidad de los grupos, por el CRT obtenemos
$$\begin{array}{cl} {\bf Z}_p^\times & \cong\left(\varprojlim\frac{\bf Z}{p^n\bf Z}\right)^\times \\
& \cong\varprojlim\left(\frac{\bf Z}{p^n\bf Z}\right)^\times \\
& \cong\varprojlim\left(\frac{\bf Z}{(p-1)}\oplus\frac{\bf Z}{p^{n-1}\bf Z}\right) \\
& \cong\left(\varprojlim\frac{\bf Z}{(p-1)}\right)\oplus\left(\varprojlim\frac{\bf Z}{p^{n-1}\bf Z}\right) \\
& \cong\frac{\bf Z}{(p-1)}\oplus ({\bf Z}_p,+),\end{array}$$
y de manera similar a ${\bf Z}_2\cong{\bf Z}/(2)\oplus({\bf Z}_2,+)$. Observa también la ${\bf Q}_l^\times\cong{\bf Z}\oplus{\bf Z}_l^\times$ cualquier $l$.
Dada una secuencia de raíces primitivas $g_n\in{\bf Z}/p^n{\bf Z}$ tal que $g_{n+1}\equiv g_n\bmod p^n$, $g:=\lim\limits_{n\to\infty}g_n$ existe como un $p$-ádico entero. A continuación, $\tau=g^{p-1}$ máximo $p$-potencia fin de mod de cada potencia de $p$, y es en particular un elemento de $1+p{\bf Z}_p$. Hay un explícito isomorfismo, entonces, dada por
$${\bf F}_p^\times\oplus{\bf Z}_p\to {\bf Z}_p^\times:(a,x)\mapsto \omega(a)\lim_{n\to\infty}g^{(x~\bmod~p^n)}.$$
Observe además que la multiplicación en la segunda coordenada del dominio anterior induce una bastante accesible, ${\bf Z}_p$- módulo de estructura en $1+p{\bf Z}_p$, e $g$ es un topológico generador.
Por lo tanto, en conclusión,
$$\frac{{\bf Z}_p^\times}{({\bf Z}_p^\times)^n}\cong\frac{\bf Z}{r(n,p)}\oplus\frac{\bf Z}{(p^{v_p(n)})},\quad [{\bf Z}_p^\times:({\bf Z}_p^\times)^n]=r(n,p)p^{v_p(n)}$$
$$\frac{{\bf Q}_p^\times}{({\bf Q}_p^\times)^n}\cong\frac{\bf Z}{(n)}\oplus \frac{{\bf Z}_p^\times}{({\bf Z}_p^\times)^n},\quad [{\bf Q}_p^\times:({\bf Q}_p^\times)^n]=n[{\bf Z}_p^\times:({\bf Z}_p^\times)^n],$$
donde $\displaystyle r(n,p):=\frac{p-1}{(n,p-1)}$ si $p>2$ $\displaystyle\frac{2}{(n,2)}$ si $p=2$.
