Geométricas Interpertation de Cauchy del Valor medio el Teorema de

Question

Cauchy MVT: Si las funciones f y g son ambas continuas en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe c ∈ (a,b), tal que

$$\frac{f'(c)}{g'(c)}= \frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}$$

Últimamente, después de que se demostró que el CMVT, yo estaba tratando de comprender intuitivamente (usando la geometría de curso) el significado de CMVT por comparación con la MVT; porque yo sé que el CMVT es sólo una extensión de la MVT, de tal manera que la única diferencia es que $$g(x)=x$$ for the MVT. Yet, even though this is self-evident, I could not inhabit an intuition through a geometric representation of it; for, in all demonstrations of the MVT I have viewed, I only see one function $$f(x)$$ in the geometrical representation, which thusly implies there exists no $$g(x)$$ - no a mi punto de vista al menos.Así que busqué otra demostración de la CMVT y he encontrado algo relacionado con curvas paramétricas de la siguiente manera:

Y, ya que no he encontrado curvas paramétricas, yo no podía comprender plenamente esta demostración. Así, alguien me puede ayudar con mi confusiones sobre una gráfica de la demostración de la CMVT. (Nota: Si la explicación de esta intuición, requiere un conocimiento de curvas paramétricas etc..., siéntase libre de incluir en la respuesta).

Answer 1

He aquí una explicación de la curva paramétrica dibujo: Consideremos dos funciones $f(x)$ $g(x)$ continua en el intervalo $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$.

Para cada $x \in [a,b]$, consideramos que el punto de $(f(x),g(x))$. Si trazamos los puntos $(f(x),g(x))$ sobre todo $x \in [a,b]$, se obtiene una curva en dos dimensiones, como se muestra en el gráfico.

En el dibujo, la pendiente de la línea roja es $\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}$. (Esto es debido a que $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}$, suponiendo que el eje vertical, que contiene el valor de $g(x)$, es el $y$-eje).

La pendiente de la línea verde es $\frac{g'(c)}{f'(c)}$. (¿Por qué? Debido a $\frac{\text{d}g}{\text{d}f}\Big|_{x=c} = \frac{\text dg / \text dx}{\text df / \text dx}\Big|_{x=c} = \frac{g'(c)}{f'(c)}$.) El dibujo muestra que el valor de $c$ elegido en las fotos, las pistas de la línea roja y la línea verde son los mismos, es decir,$\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)} = \frac{g'(c)}{f'(c)}$.