Cada secuencia tiene al menos un punto límite?

Question

Deje $x_n$ ser una secuencia de números reales.

Definición: $x \in \mathbb R \cup \{-\infty,\infty\}$ es un punto límite de una secuencia $x_n$ si hay un subsequence $x_{n_k}$ de nuestra secuencia tal que $x_{n_k} \to x$.

Si $A= \{x \in \mathbb R \cup \{-\infty,\infty\} \mid x \text { is a limit point of }x_n\}$, demuestran que, a $A$ no está vacío.

Answer 1

Si la secuencia es acotado, entonces usted puede invocar Bolzano-Weierstrass teorema.

Así, podemos asumir que es ilimitado. Supongamos que no está delimitado desde arriba. (El simétrica caso es similar.)

Por lo tanto para cada $C$ existe $n$ tal que $x_n>C$.

Empezar con $C_1=1$ y elija $n_1$ tal que $x_{n_1}>C_1=1$.

Ahora elija $C_2=2+\max\{x_j\; : \; j\le n_1\}$. Obviamente $C_2\ge 2$ y usted puede elegir la $n_2$ tal que $n_2>n_1$$x_{n_2}>C_2$.

De continuar por inducción. En el $k$-ésimo paso que usted elija $C_k=k+\max\{x_j \; : \; j\le n_k\}$. Esto significa que $C_k\ge k$ existe $n_{k+1}>n_k$$x_{n_k}>C_k$.

En esta manera obtener un subsequence $n_k$ tal que $x_{n_k} \ge k$. Esto implica que esta larga converge a $+\infty$.

Answer 2

$\arctan : [-\infty,\infty] \rightarrow [-\pi/2,\pi/2]$. La secuencia de $\{x_n\}_{n=1}^\infty \subseteq \mathbb{R}$ tiene un punto límite en $[-\infty,\infty]$ si y sólo si la secuencia de $\{\arctan x_n\}_{n=1}^\infty \subseteq [-\pi/2,\pi/2]$ tiene un punto límite en $[-\pi/2,\pi/2]$. Bolzano-Weierstrass se encarga de eso.

Answer 3

Una prueba de croquis suponiendo Bolzano-Weierstrass.

1. Mostrar que $x_n$ está delimitado por encima de si, y sólo si $\infty$ no es un punto límite de $x_n$.

2. Invirtiendo el argumento anterior, muestran que $x_n$ está delimitada desde abajo si y sólo si $- \infty$ no es un punto límite.

3. A partir de (1.) y (2.), a la conclusión de que si no $\infty$ ni $-\infty$ es un punto límite de $x_n$, $x_n$ está acotada. Además, el uso de Bolzano-Weierstrass, a la conclusión de que si no $\infty$ ni $-\infty$ es un punto límite de $x_n$, $x_n$ tiene una larga convergentes para algunos límite de $x \in \mathbb R$.

Para resumir el argumento, la idea clave es que la secuencia es

• ya sea ilimitado, en el que caso de que uno de $+\infty$ $-\infty$ es un punto límite;
• o es limitada, en cuyo caso Bolzano-Weierstrass muestra la existencia de un punto límite en $\mathbb R$.

Nota: Martin respuesta explica la idea detrás de (1.). :-)

Answer 4

Definir $y_n = \sup \{ x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, \cdots \} .$ $y_n$ es monótona decreciente de la secuencia y, por tanto, $ Y = \displaystyle \lim_{n\to\infty} y_n$ existe (posiblemente $-\infty$).

El reclamo es que el $ Y \in A .$ Si $Y$ es finito, entonces argumentar como sigue: Para cualquier $\epsilon > 0 $, por la definición de supremum para cada una de las $n\in \mathbb{N}$ podemos encontrar $ n_k \geq n $ tal que $ |y_n - x_{n_k} | < \frac{\epsilon}{2}.$ Por la definición de límite, para algunos $n_0 \in\mathbb{N}$ tenemos $ |Y - y_n| < \frac{\epsilon}{2} $ todos los $ n > n_0.$ Pues para todos $n> n_0$, $$ |Y - x_{n_k}| \leq |Y-y_n| + |y_n - x_{n_k}| < \epsilon.$$ Thus, $ x_{n_k} \Y.$

Puedo dejar el caso en que $ Y= -\infty$.