Laurent serie de $\frac{1}{\sin(z)}$

Question

Deje $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n$ ser la serie de Laurent $\frac{1}{\sin (z)}$$|z| < \pi$. Me piden demostrar que si $n < -1$ o $n$ es incluso, a continuación,$a_n = 0$. También me pidió para calcular $a_{-1}$$a_1$.

Lo que es una buena manera de acercarse a este problema?

Answer 1

Considerar el espacio anular $A=\{ z: 0< |z| < \pi\}$. Deje $f(z)=1/\sin(z)$, ya que el $z=0$ es un cero simple de $1/f$, $z=0$ es un simple polo para $f$, lo que le da ese $a_{-n}=0$ todos los $n>1$. Así, la serie de Laurent $f$ $A$ es $$f(z)= a_{-1} \frac{1}{z} + \sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n \etiqueta{1}$$ Por supuesto, desde la $f$ es una función impar, entonces todos los incluso los coeficientes debe ser cero, y es por eso $a_n=0$$n=0,2,4,\cdots$. Finalmente, es fácil de ver desde (1) que $$a_{-1} = \lim_{z \to 0} z \ f(z) = \lim_{z \to 0} \frac{z}{\sin(z)} =1 ,$$
de nuevo a partir de (1) y desde $a_{-1}=1$, obtenemos $$a_1 = \lim_{z\to 0} \left(\frac{f(z)}{z}-\frac{1}{z^2}\right)=\lim_{z\to 0} \frac{z-\sin(z)}{z^2\sin(z)}=\frac{1}{6},$$ donde se puede calcular el límite último por tres consecutivos de la aplicación de la regla de LHospital.

Answer 2

No sé si es muy ortodoxo con respecto a la manera en que este tema se le enseño a usted. Así que me perdone si estoy off-topic.

Considere la posibilidad de $$f(z)=\frac{1}{\sin(z)}$$ and the Taylor expansion $$\sin(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}$$ Perform the long division and get $$f(z)=\frac{1}{z}+\frac{z}{6}+\frac{7 z^3}{360}+\frac{31 z^5}{15120}+O\left(z^6\right)$$