Cómo solucionar $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(x^2 + \ln^2{(\cos{x})})} \mathrm{d}x$

Question

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(x^2 + \ln^2{(\cos{x})})} \mathrm{d}x$

Me fue dada esta integral ayer por alguien en un foro y después de unas horas de tener un ir en él yo no quería llegar a algún lugar importante.

Mi primera idea fue utilizar una serie de sustituciones que simplemente la integral en una forma donde las expansiones de taylor podría ser utilizado para resolverlo. Otra de mis ideas fue el uso de los números complejos para deshacerse de algunos de los registro de términos, el cambio de la $\ln^2{(\cos{x})}$ plazo podría hacer esta integral mucho más manejable.

Me gustaría si alguien pudiera ayudarme a resolver esto mediante métodos básicos aunque si hay un más complicado, pero elegante solución (usando el contorno de integración, por ejemplo) que podría ser beneficioso para alguien más. Nosotros no hacemos el equivalente de Calc III en mi escuela, así que no estoy muy familiarizado con los métodos que van más allá de la Calc II plan de estudios (DUDIS, de Laplace, ect..).

Answer 1

Tenga en cuenta que la integral es

$$2 \operatorname{Re}{\int_0^{\pi/2} dx \, \log{(\log{\cos{x}} + i x)}} $$

que, mediante el uso de diversas manipulaciones de el integrando alrededor del círculo unidad, nos encontramos a

$$\frac12 \operatorname{Re}{\int_{-\pi}^{\pi} dx \, \log{(\log{\cos{x}} + i x)}} $$

que integral podemos expresar como una integral sobre un deforma ligeramente círculo unidad:

$$-\frac{i}{2} \oint_C \frac{dz}{z} \log{\left [\log{\left(\frac{z+z^{-1}}{2} \right)}+\log{z} \right ]} = -\frac{i}{2} \oint_C \frac{dz}{z} \log{\left [\log{\left(\frac{z^2+1}{2} \right)} \right ]}$$

donde $C$ es el círculo unitario con pequeñas muescas semicirculares en los polos $z=\pm i$. Las aportaciones de estas hendiduras de la integral es cero como el radio de las sangrías va a cero.

Así, tenemos la integral de una holomorphic función de los límites de una región en la que existe un solo polo en el origen. Por Cauchy teorema/ el teorema de los residuos, la integral que buscamos es, pues, la parte real de

$$i 2 \pi \left (-\frac{i}{2} \right ) \log{\log{\frac12}} $$

o $\pi \log{\log{2}} $.

ANEXO

Déjame llenar los vacíos. Imaginar

$$I = \int_{0}^{\pi/2} dx \, \log{(\log{\cos{x}} + i x)}$$

y

$$\begin{align}I' &= \int_{\pi/2}^{\pi} dx \, \log{(\log{\cos{x}} + i x)} \\ &= \int_{0}^{\pi/2} dx \, \log{\left [\log{\left (-\cos{\left (\frac{\pi}{2} - x \right )}\right )} + i x+i \frac{\pi}{2}\right ]} \\ &= \int_{0}^{\pi/2} dx \, \log{\left [\log{\left (\cos{x}\right )} - i \pi + i \left (\frac{\pi}{2}-x \right )+i \frac{\pi}{2}\right ]}\\ &= \int_{0}^{\pi/2} dx \, \log{(\log{\cos{x}} - i x)}\end{align}$$

Entonces

$$I+I' =\int_0^{\pi} dx \, \log{(\log{\cos{x}} + i x)}= \int_0^{\pi/2} dx \, \log{(\log^2{\cos{x}}+x^2)} $$

Por lo tanto,

$$\operatorname{Re}{\int_{-\pi}^{\pi} dx \, \log{(\log{\cos{x}} + i x)}} = 2 \int_0^{\pi/2} dx \, \log{(\log^2{\cos{x}}+x^2)}$$

como iba a ser mostrado.

Answer 2

Siguiendo el comentario dejado por @cansados, nos cuenta que podemos factor de que el argumento de la cuadrática como

$$x^2+\log^2(\cos(x))=(\log(\cos(x)+ix)(\log(\cos(x)-ix)$$

Escrito $ix=\log(e^{ix})$ hemos

$$x^2+\log^2(\cos(x))=\left|\log(\cos(x)e^{ix})\right|^2=\left|\log\left(\frac{1+e^{i2x}}{2}\right)\right|^2$$

A continuación, vamos a escribir la integral de interés como

$$\int_0^{\pi/2}\log(x^2+\log^2(\cos(x)))\,dx=\frac14\int_{-\pi}^{\pi}\log\left(\left|\log\left(\frac{1+e^{ix}}{2}\right)\right|^2\right)\,dx$$

Nos movemos en el plano complejo dejando $z=e^{ix}$. La integral de interés se convierte en

$$\begin{align} \int_0^{\pi/2}\log(x^2+\log^2(\cos(x)))\,dx&=\frac12\oint_{|z|=1}\log\left(\left|\log\left(\frac{1+z}{2}\right)\right|\right)\frac{1}{iz}\,dz\\\\ &=\frac12\text{Re}\left(\oint_{|z|=1}\log\left(\log\left(\frac{1+z}{2}\right)\right)\frac{1}{iz}\,dz\right)\\\\ &=\frac12 \text{Re}\left(2\pi i \left(\frac{\log(\log(2))+i\pi}{i}\right)\right)\\\\ &=\pi \log(\log(2)) \end{align}$$

donde nos tácitamente deforma el contorno alrededor de la rama punto de singularidades en$z=1$$z=-1$, y señaló que las contribuciones de las integraciones en torno a las deformaciones son cero.