¿Es un espacio Hausdorff compacto metrizable? ¿Tal vez incluso completo?

Question

Posible duplicado:
Un espacio Hausdorff compacto que no es metrizable

¿Es cierto que todo espacio topológico $X$ que es Hausdorff y compacto es también metrizable? ¿Tal vez incluso completo? ¿Cuál es la relación entre la completitud y la compacidad en un espacio métrico?

No estoy haciendo esta pregunta de la nada. La razón es que casi todos los teoremas que he encontrado últimamente sobre espacios métricos compactos podrían generalizarse fácilmente a los espacios compactos de Hausdorff, pero también algunos teoremas que he encontrado sobre métricas completas tienen una contrapartida para los espacios compactos de Hausdorff (por ejemplo, el teorema de Baire).

Answer 1

No, toma $\omega_1+1=[0,\omega_1]$ con la topología de orden ( $\omega_1$ es el ordinal incontable más pequeño). No es metrizable, ya que el carácter de $\omega_1$ es incontable. Otro ejemplo es la compactación Stone-Cech $\beta \mathbb{N}$ de los números naturales.

Cada espacio compacto es Cech-completo. Un espacio metrizable es Cech-completo si y sólo si es homeomorfo a un espacio métrico completo. Cualquier espacio Cech-completo es un espacio Baire.

Answer 2

Para responder a tu segunda pregunta de un modo quizá más sencillo que la respuesta de Daria: todo espacio métrico compacto es completo. Esto es fácil de demostrar utilizando el teorema de Bolzano-Weierstrass: cualquier secuencia de Cauchy $\{x_n\}$ tiene una subsecuencia que converge a algún punto $x$ . A continuación, utilice la desigualdad del triángulo para demostrar que la secuencia original $\{x_n\}$ debe converger a $x$ .

Por supuesto, lo contrario es falso: hay espacios métricos completos que no son compactos. $\mathbb{R}$ por ejemplo.