El nivel de actuación y de imagen de las Naciones Unidas está inextricablemente vinculado a la capacidad de la Asamblea General.

Question

Deje $S_g$ ser cerrada una superficie orientable de género $g\ge 2$. Deje $f:S_g\rightarrow S_g$ ser una función continua tal que $f_*:\pi_1(S_g)\rightarrow \pi_1(S_g)$ es igual a la identidad en $\pi_1(S_g)$ (o, equivalentemente, $f$ es homotopy equivalente a $Id:S_g\rightarrow S_g$).

• Es cierto que $S_g\setminus f(S_g)$ es un conjunto de medida $0$?

Llame a $V\subset S_g$ un subconjunto maximal tal que $f:V\rightarrow S_g$ es inyectiva.

• Es cierto que $S_g\setminus V$ $S_g\setminus f(V)$ son conjuntos de medida $0$ por cada $V$ máxima? ¿Existe un máximo de $V$ tal que $S_g\setminus V$ o $S_g\setminus f(V)$ son conjuntos de medida cero?

Answer 1

1. El mapa de $f$ tiene grado 1 y, por lo tanto, es surjective. (La mejor referencia de lo que sé es Guillemin y Pollack "Topología Diferencial". Dadas dos cerrada orientada conectado colectores $M, N$ de la misma dimensión y un buen mapa $f: M\to N$, $deg(f)$ puede ser definida como la suma $$ \sup_{x\in f^{-1}(y)} (signo(J_x(f)) $$ donde $J_x(f)$ es el determinante Jacobiano de $f$ $x$ $y\in N$ es un valor regular de $f$, es decir, a un punto tal que $J_x(f)\ne 0$ todos los $x\in f^{-1}(y)$. Si $f$ no es surjective, ninguna de las $y\notin f(M)$ es un valor regular de $f$ y, por lo tanto, $deg(f)=0$. Sin embargo, el título es un homotopy-invariante. Si $f: M\to M$ es homotópica a la identidad, a continuación,$deg(f)=1$. Por lo tanto, todos los auto-mapa homotópica a la identidad es surjective.)

2. No hay tal cosa como el subconjunto $V$ donde $f$ es inyectiva, hay muchos subconjuntos $V$ de manera tal que las restricciones de $f$ $V$son inyectiva. Tal vez usted quiere un subconjunto maximal $V$ con esta propiedad.

Edit. Si no hacemos suposiciones acerca de la topología de $V$ entonces cada uno de esos $V$ tienen la propiedad de que $f: V\to S_g$ es un bijection. Aquí es un ejemplo que muestra que $V$ no tienen necesidad de la medida completa en $S_g$. Deje $D\subset S_g$ ser un disco cerrado; supongamos que $f|_D$ es constante, igual a $q\in S_g$ $f|_{S_g - D}$ es un homeomorphism a $S_g -\{q\}$. Entonces cualquier maximal $V$ será igual a $(S_g - D) \cup\{p\}$ donde $p$ es un punto en $D$.

Una cosa más: Uno puede construir (el uso de Peano-tipo de curvas) mapas de $f: S_g\to S_g$ homotópica a la identidad y la máxima inyectiva subconjuntos $V\subset S_g$, de tal manera que $V$ es un subconjunto de un suave arco, en particular, noweher densa y de medida cero.