Es el conjunto de números reales que realmente uncountably infinito?

Question

La prueba de que el conjunto de los números reales es uncountably infinito es a menudo concluye con una contradicción. En el siguiente argumento que uso similar a prueba por contradicción para demostrar que el conjunto de los números racionales pueden ser mostrados para ser uncontably infinito:

Supongamos que el conjunto de los números racionales es contable. Esto implica que podemos escribir todos los números racionales entre 0 y 1 en una lista. Digamos, se ve algo como esto:

$ 0.\color{red}0000000001000000...\\ 0.0\color{red}10000001110000...\\ 0.10\color{red}000001000000... \\ ....$

ans así sucesivamente. Ahora, cree un nuevo número que recoge $n^{th}$ dígitos de $n^{th}$ número y cambios a $0$ si $1$ y viceversa.

$0.101.... $

Este número, decir $x$, está entre 0 y 1, y así debe aparecer en la lista. Supongo que es como aparece en la $n^{th}$ posición en la lista. Sin embargo, basado en cómo hemos construido $x$, sabemos que el $n^{th}$ dígitos de $x$ es diferente de la $n^{th}$ dígitos de la $n^{th}$ número en la lista. Por eso, $x$ debe ser diferente de la $n^{th}$ número en la lista de la $n^{th}$ dígitos y, por lo tanto, esta es una contradicción. Podemos concluir que con una lista de los números racionales no existe y, por lo tanto, el conjunto de los números racionales es uncontably infinito.

Sé que hay una correspondencia entre el conjunto de los números racionales y los números naturales que puede demostrar que no es uno-a-uno correlación entre los dos conjuntos (http://www.homeschoolmath.net/teaching/rational-numbers-countable.php). Sin embargo, la anterior prueba en ese sentido no es muy concluyente, y que el conjunto de los números reales también pueden ser countably infinito y es sólo que todavía no son conscientes de la asignación.

Por favor envíe sus comentarios si la prueba es de alguna manera defectuosa por los números racionales o si me falta algo.

Answer 1

El estándar de la prueba de que los números reales son innumerables no necesita ser formulada como una prueba por contradicción. Decir que $\mathbb{R}$ es incontable es decir que si $f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ es un mapa, entonces no es un bijection. El estándar de prueba en el hecho demuestra que la $f$ no es un surjection explícitamente exhibiendo un número real que no está en la imagen de $f$.

Como dice Daniel en los comentarios, el problema con la prueba de ello es que no hay razón de que el número al que desea escribir tiene que ser racional, y eso es todo. Como he dicho en varias otras respuestas recientemente, el problema con las pruebas por la contradicción es que una vez que has cometido un error pensar que estás hecho. Generalmente es mejor probar las cosas directamente.