Su $p(n)$ no es el número de particiones enteras de $n$ . Su $p(n)$ es el número de maneras de dividir un conjunto de tamaño $n$ (como indica darij grinberg). En otras palabras, es el $n$ th Número de timbre . Su expresión no aparece en la página de Wikipedia de los números de Bell, aunque sí aparece en la fórmula principal de la Polinomios de Bell . Hay fórmulas más sencillas para los números de Bell, también.
El argumento siguiente da una explicación combinatoria que su $p(n)$ es el $n$ El número de la campana. El mismo razonamiento indica que su interpretación para $p(n,k)$ está en el camino correcto: $p(n,k)$ es el número de maneras de dividir un conjunto de tamaño $n$ en el que $k$ es el tamaño del conjunto máximo permitido en la partición.
Esta es la explicación combinatoria (que $p(n)$ es el $n$ número de Bell). Supongamos que tenemos enteros no negativos $m_1, m_2, \ldots, m_n$ tal que $m_1 + 2m_2 + \cdots + nm_n = n.$ Entonces $$\frac{n!}{\prod_{i=1}^n m_i! (i!)^{m_i}}$$ es el número de maneras de dividir un conjunto de tamaño $n$ para que la partición contenga $m_1$ conjuntos de tamaño $1$ , $m_2$ conjuntos de tamaño $2$ y así sucesivamente.
¿Por qué? Bien, podemos construir tal partición creando una permutación de los elementos del conjunto de tamaño $n$ , en $n!$ formas, y tomando la primera $m_1$ elementos para que sean conjuntos únicos, el siguiente $2m_2$ elementos, por parejas, para ser conjuntos de tamaño $2$ y así sucesivamente. Por ejemplo, con $m_1 = 1, m_2 = 2, m_3 = 1$ y $n=8$ podríamos tomar la permutación 12345678. Esto nos da la partición $\{1\}, \{2, 3\}, \{4, 5\}, \{6,7,8\}$ del conjunto $\{1, 2, \ldots, 8 \}$ .
Sin embargo, esto supone un exceso de contabilidad en dos sentidos. Por ejemplo, la permutación 14523678 nos da la misma partición de conjuntos que la anterior porque sólo intercambia el orden de los conjuntos de dos elementos $\{2,3\}$ y $\{4,5\}$ . En general, para cualquier conjunto del mismo tamaño en la partición, podrían ordenarse de cualquier manera en la permutación original. El número de formas de ordenar $m_i$ conjuntos de tamaño $i$ es $m_i!$ por lo que para corregir este tipo de sobreconteo tenemos que dividir por $\prod_{i=1}^m m_i!$ .
La segunda forma en la que esto sobre cuenta es que no hay orden en los elementos dentro de los conjuntos. Así, por ejemplo, la permutación 13254876 produce la misma partición que la anterior. Para corregir este tipo de sobreconteo tenemos que dividir por el número de formas de ordenar los elementos de cada conjunto en nuestra partición. Hay $i!$ formas de ordenar los elementos de un conjunto de tamaño $i$ y tenemos $m_i$ conjuntos de tamaño $i$ por lo que para corregir este tipo de sobreconteo tenemos que dividir por $\prod_{i=1}^m (i!)^{m_i}$ .
Resumiendo sobre todas las formas de elegir el $m_i$ tenemos que el número de formas de dividir un conjunto de tamaño $n$ es $$\sum_{m_1+2m_2+\dots+nm_n=n} \frac{n!}{\prod_{i=1}^n m_i! (i!)^{m_i}},$$ que, como he dicho antes, es más conocido como el $n$ th Número de timbre .
