Resolver mediante el análisis complejo?

Question

$\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A) = \frac{-3}{2}$ Tenemos que demostrar que el $\cos A + \cos B + \cos C = \sin A + \sin B + \sin C = 0$

Me preguntaba si es posible demostrar este resultado, demostrando que las partes real e imaginaria de $z = \cos A + \cos B + \cos C$ son iguales a cero, de alguna manera, la invocación de Vieta o de De Moivre del teorema, si es necesario. He intentado, a partir de con $\cos(B-C)$ y otro cíclico, pero realmente no podía llegar a ninguna parte.

Cualquier otro método también es apreciado.

Muchas gracias!

Answer 1

Vamos $u$, $v$, $w$ ser $e^{iA}$, $e^{iB}$ y $e^{iC}$. Entonces $$(u+v+w)(u^{-1}+v^{-1}+w^{-1}) =2\cos(a-B)+2\cos(B-C)+2\cos(C-A)+3.$$ Su condición es equivalente a $(u+v+w)(u^{-1}+v^{-1}+w^{-1})=0$. Estos soportes son complejos conjugados, por lo $u+v+w=0$ y esto significa $$(\cos A+\cos B+\cos C)+i(\sin A+\sin B+\sin C)=0.$$