Podemos demostrar que las soluciones de $\int_0^y \sin(\sin(x)) dx =1$ son irracionales?

Question

Podemos demostrar que las soluciones de $$\int_0^y \sin(\sin(x)) dx =1$$ are irrational? Wolfram Alpha gives two approximate sets of solutions as $\{4.58+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\}$ and $\{1.69+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\}$. Podemos demostrar que son irracionales?

Answer 1

Aquí hay algunos parcial progreso hacia la deseada integral.

La Jacobi-la Ira de expansión proporciona una línea directa de ataque. La serie de Fourier de $\sin( z\sin (x))$ es $$\sin(z \sin(x)) = 2\sum_{k\text{ odd}}^\infty J_{k}(z)\sin kx$$ where $J_k(x)$ is a Bessel function of order $k$. De ahí inmediatamente podemos integrar, la obtención de

$$\begin{align} I_z(y)\equiv \int_0^y \sin(z \sin(x))\,dx &=2\sum_{k\text{ odd}}^\infty J_k(z) \int_0^y \sin kx \,dx\\ &=\sum_{k\text{ odd}}^\infty \frac{4}{k}J_k(z)\sin^2\left(\frac{1}{2}k y\right) \end{align}$$ (Un inciso, para las pequeñas $y$ esto da $I_z(y)\approx Cy^2$$C=\sum_{k\text{ odd}}^\infty k\,J_k(z).$)

De ahí que la pregunta ha sido convertido en un problema de suma; más específicamente, este es un Neumann expansión de la serie de $I_z(y)$. (La Jacobi-la Ira de expansión fue este tipo de series.) La pregunta es entonces, ¿cómo se procede además, con el objetivo de encontrar las raíces en el caso especial $I(1;y)=1$. ¿Alguien ve un camino a seguir?