Deje que $$ \Delta = \frac { \partial ^2}{ \partial x^2}+ \frac { \partial ^2}{ \partial y^2}$$ Considere las coordenadas polares con $x=r \cos\theta $ y $y=r \sin\theta $ . Quiero mostrar que $$ \Delta = \frac { \partial ^2}{ \partial r^2}+ \frac1r\frac\partial { \partial r}+ \frac1 {r^2} \frac { \partial ^2}{ \partial \theta ^2}.$$
Uso la regla de la cadena para calcular $$ \frac { \partial }{ \partial x} = \frac {x}{r} \frac { \partial }{ \partial r} - \frac {y}{r^2} \frac { \partial }{ \partial \theta }$$ y $$ \frac { \partial }{ \partial y} = \frac {y}{r} \frac { \partial }{ \partial r} + \frac {x}{r^2} \frac { \partial }{ \partial \theta }$$
Así que $$ \Delta = \left ( \frac {x}{r} \frac { \partial }{ \partial r} - \frac {y}{r^2} \frac { \partial }{ \partial \theta } \right )^2 + \left ( \frac {y}{r} \frac { \partial }{ \partial r} + \frac {x}{r^2} \frac { \partial }{ \partial \theta } \right )^2$$
Expandiéndose, consigo $$ \Delta = \frac { \partial ^2}{ \partial r^2}+ \frac1 {r^2} \frac { \partial ^2}{ \partial\theta ^2}$$
¿Dónde está el término $ \frac1r\frac\partial { \partial r}$ ¿Desaparecer?
