Cómo probar una suma de la serie

Question

Cómo puedo demostrar que para cualquier número natural $n$ hemos $$\sum_{i=0}^n i^4 \neq \left(\sum_{i=0}^n i\right)^3?$$

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Recordemos que $$\sum_{i=1}^n i^4 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$ y $$\sum_{i=1}^n i = \dfrac{n(n+1)}2$$ Tenemos por lo tanto, la necesidad $$\left(\dfrac{n(n+1)}2\right)^3 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$ Esto nos da bien $n(n+1)=0$ o $$15(n(n+1))^2 = 4(2n+1)(3n^2+3n-1) \,\,\,\, (\spadesuit)$$ $(\spadesuit)$ puede ser simplificado como $$15n^4+6n^3-21n^2-4n+4 = 0 \implies (n-1)(15n^3+21n^2-4) = 0 \,\,\,\, (\clubsuit)$$ Ahora considere la función $f(n) = (15n^3+21n^2-4)$. Tenga en cuenta que tenemos $f'(n) = 45n^2+42n >0 $ todos los $n \geq 1$. Por lo tanto, la función de $f(n)$ es el aumento para todos los enteros positivos. Además, $f(1) = 32 > 0$. Por lo tanto, $f(n)$ no tiene ningún número entero no negativo como sus raíces. La única solución a tu problema inicial es $n=0$$n=1$.

Answer 2

Su afirmación es falsa. Si usas $n=1$, a ambos lados de su declaración de la igualdad de $1$. El asunto es que, si $n=0$, en ambos lados son iguales a cero, pero no se puede considerar cero para ser un número natural.

Es cierto que la afirmación es verdadera para $n>1$. Es que lo que quieres demostrar? Si es así, encontrar el polinomio de expresiones para cada lado. Restando un lado de la otra conduce a la búsqueda de las raíces de una de sexto grado del polinomio. Muestran que dos de las raíces se $0$$1$, tres raíces son negativos, y una raíz que está entre cero y uno. Que cuentas para todas las seis de las raíces, así que no hay root para $n>1$. O, como @Deepak sugiere, el uso racional de la raíz teorema para hallar todas las raíces racionales, que son justamente $-1,0,1$.

Answer 3

Como Rory Daulton ha comentado tenemos $L(0)=R(0)$$L(1)=R(1)$. Pero, a continuación,$L(2)=17< 27=R(3)$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar $$L(n)-L(n-1)\leq R(n)-R(n-1)\qquad(n\geq3)\ ,$$ que es el mismo que $$n^4\leq \left({n(n+1)\over2}\right)^3-\left({(n-1)n\over2}\right)^3=n^3\ {6n^2+2\over 8}\qquad(n\geq3)\ .$$ Esto equivale a $4n\leq3n^2+1$, resp., a $$(3n-1)(n-1)\geq0\qquad(n\geq3)\ ,$$ que es obviamente cierto.