Tiempo de retorno condicional del paseo aleatorio simple

Question

Consideremos un simple paseo aleatorio simétrico sobre $\mathbb{Z}$ , $(S_t)_{t \geq 0}$ . Llame a $\tau_k = \min\{t \in \mathbb{N}\, : \, \, S_t =k \}$ El tiempo de golpeo de $k \in \mathbb{N}$ . Llame a $\tau^* = \min\{t >0\, : \, \, S_t =0 \}$ El tiempo de retorno al origen. Sea $c<1$ sea una constante positiva.

¿Hay alguna forma de calcular la siguiente fórmula de forma explícita?

$$\sum_{k=1}^{\infty} \sum\limits_{j=1}^{\infty} P ( \tau_k = j \, | \, \tau_k < \tau^*) \cdot c^{j-1}$$

Answer 1

Para tener $\tau_k < \tau^*$ El primer paso de la caminata debe ser en dirección positiva. Por lo tanto, podemos empezar el paseo en la posición $1$ : dejar $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , $\ldots$ ser i.i.d. con $\mathbb{P}(X_i=1)=\mathbb{P}(X_i=-1)={1\over 2}$ , dejemos que $T_n:=1+\sum_{1\le i\le n} X_i\ \ (n\in\mathbb{Z}_{\ge 0})$ y que $\mu_k:=\min \{n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}\mid T_n=k\}$ . A continuación, queremos calcular $$\sum_{k\ge 1} \mathbb{E}[c^{\mu_k}\mid \mu_k<\mu_0],$$ donde el $-1$ en el exponente ha desaparecido porque empezamos el paseo en lo que antes era el tiempo $1$ . Arreglar algunos $A>0$ y que $M_n:=c^n A^{T_n}$ ; si $A+A^{-1}=2/c$ , $M_n$ será una martingala. Entonces, por el teorema de parada opcional, $$\begin{eqnarray*} A=M_0&=& \mathbb{E}[M_{\min(\mu_k, \mu_0)}]\\ &=& \mathbb{P}(\mu_k<\mu_0) \mathbb{E}[c^{\mu_k}\mid \mu_k < \mu_0] A^k+ \mathbb{P}(\mu_k>\mu_0) \mathbb{E}[c^{\mu_0}\mid \mu_k > \mu_0]. \ \ (*) \end{eqnarray*}$$ La ecuación $A+A^{-1}=2/c$ tiene dos raíces positivas. Sea $A_0$ sea el mayor que $1$ el otro será entonces $A_0^{-1}$ . Configurar $A:=A_0$ y $A:=A_0^{-1}$ en $(*)$ entonces da dos ecuaciones lineales. Restando una de la otra y resolviendo se obtiene $$\mathbb{P}(\mu_k<\mu_0) \mathbb{E}[c^{\mu_k}\mid \mu_k < \mu_0] = {A_0-A_0^{-1}\over A_0^k-A_0^{-k}}= {1\over A_0^{k-1}+A_0^{k-3}+\cdots+A_0^{-(k-3)}+A_0^{-(k-1)}}.\ \ (**)$$

Dejar $c\to 1$ , $A_0\to 1$ también. En este caso $(**)$ se convierte en $$\mathbb{P}(\mu_k<\mu_0) = \frac{1}{k},$$ que también se puede encontrar utilizando el teorema de parada opcional con la martingala $T_n$ . Dividiendo esto en $(**)$ da $$\mathbb{E}[c^{\mu_k}\mid \mu_k < \mu_0] = k {A_0-A_0^{-1}\over A_0^k-A_0^{-k}},$$ así que la respuesta es $$\sum_{k\ge 1} k {A_0-A_0^{-1}\over A_0^k-A_0^{-k}}.$$