suma de dos conectados subconjunto de $\mathbb{R}$

Question

$A$ $B$ se conectan dos subconjunto de $\mathbb{R}$ definir $A+B=\{x+y:x\in A,y\in B\}$, entonces es $A+B$ también conectado?

naturalmente, yo estaba pensando en dos disjuntas conectado subconjuntos de a $\mathbb{R}$, decir $A=[0,1]$ $B=[4,5]$

a continuación,$A+B=[4,6]$? por lo tanto, es ingeneral verdad?

Answer 1

Sí. $A\times B$ está conectado a un subconjunto de a $\Bbb R^2$, además es continuo, continuo y mapas de preservar la conectividad, por lo $A+B$ está conectado.

Answer 2

Brian prueba de ello es el riguroso uno. Para un no-riguroso de la imagen de prueba, creo que de $A+B$ como traducir el conjunto de $A$ más por las distancias en $B$. La imagen que se obtiene es un montón de copias de $A$ deslizamiento en todo el intervalo de $B$ (es un teorema que todos los conjuntos conectados en $\mathbb{R}$ están vacías, los embarazos únicos, o intervalos, pero la imagen se ve más cool al $B$ es un intervalo), y $A+B$ es la unión de todas estas copias. Esto debe convencer a usted de forma intuitiva que está conectado.