La evaluación de $\lim\limits_{x \to \pi/ 6} \frac{(2\sin x + \cos(6x))^2}{(6x - \pi)\sin(6x)}$

Question

$$\lim_{x \to \pi/ 6} \frac{(2\sin x + \cos(6x))^2}{(6x - \pi)\sin(6x)}$$

Me gustaría ampliar con la serie de Maclaurin, sino $x \to \frac \pi 6$, por lo que no puedo hacer eso. Así que me evaluó con la regla de l'Hospital (el resultado es $-\frac 1{12}$), pero hay una manera mejor? Tuve que diferenciar dos veces y se pone muy grandes y complicados.

Answer 1

Usted puede cambiar el argumento con $x=y+\frac\pi6$:

$$\lim_{y\to0}\frac{(2\sin(y+\frac\pi6)+\cos(6y+\pi))^2}{6y\sin(6y+\pi)}=\lim_{y\to0}\frac{(\sqrt3\sin(y)+\cos(y)-\cos(6y))^2}{-6y\sin(6y)}.$$

Ahora es suficiente para ver que la expansión de Taylor dará $(\sqrt3y+o(y))^2=3y^2+o(y^2)$ en el numerador y el $-36y^2+o(y^2)$ en el denominador, y el límite es $$-\frac3{36}.$$

Answer 2

De un modo elemental es la siguiente.

Considerar las funciones de variable real $f,g$ definido por $f(x)=\sin(6x)$$g(x)=2\sin(x)+\cos(6x)$, para todos los $x\in \mathbb R$. Tenga en cuenta que $f(\pi /6)=0=g(\pi /6)$.

Ahora $$\begin{align} \lim \limits_{x\to \pi /6}\left(\frac{(2\sin x + \cos(6x))^2}{(6x - \pi)\sin(6x)}\right)&=\lim \limits_{x\to \pi /6}\left[\left(\dfrac{2\sin(x)+\cos(6x)}{6x-\pi}\right)^2\dfrac{6x-\pi}{\sin(6x)}\right]\\ &=\left[\lim \limits_{x\to \pi /6}\left(\dfrac{2\sin(x)+\cos(6x)}{6x-\pi}\right)\right]^2\left[\lim \limits_{x\to \pi /6}\left(\dfrac{\sin(6x)}{6x-\pi}\right)\right]^{-1}\\ &=\dfrac 1 {6^2}\left[\lim \limits_{x\to \pi /6}\left(\dfrac{2\sin(x)+\cos(6x)}{x-\frac \pi 6}\right)\right]^2\left(\dfrac 1 6 \right)^{-1}\left[\lim \limits_{x\to \pi /6}\left(\dfrac{\sin(6x)}{x-\frac \pi 6}\right)\right]^{-1}\\ &=\dfrac 1 6 \left[\lim \limits_{x\to \pi/ 6}\left(\dfrac{g(x)-g(\pi /6)}{x-\frac \pi 6}\right)\right]^2\left[\lim \limits_{x\to \pi /6}\left(\dfrac{f(x)-f(\pi /6)}{x-\frac \pi 6}\right)\right]^{-1}\\ &=\dfrac 1 6\left(g'(\pi/ 6)\right)^2\left(f'(\pi /6)\right)^{-1}\\ &=\dfrac 1 6(2\cos(\pi /6)-6\sin(\pi))^2(6\cos(\pi))^{-1}\\ &=\dfrac 1 6\sqrt 3^2\dfrac 1 6 (-1)\\ &=-\dfrac 3 {36}\\ &=-\dfrac 1{12}. \end{align}$$

Answer 3

Escribir la expresión como

$$\left( \frac{2\sin x+\cos 6x}{6x-\pi} \right)^2 \left(\frac{6x -\pi}{\sin 6x}\right)$$

ahora por L'hôpital,

$$\frac{2\sin x+\cos 6x}{6x-\pi} \rightarrow \frac{1}{2\sqrt{3}}$$

$$\frac{6x -\pi}{\sin 6x}\rightarrow -1$$

poniendo juntos obtendrá $-\frac{1}{12}$

Answer 4

1) Para simplificar, establezca $6x - \pi = v$,

2) utilizar el ángulo de fórmulas, es decir, escribir $\sin x = \sin (\pi -x)$$\cos x =-\cos(\pi-x)$.

El primer término, que fácilmente se sale después de multiplicar por $v$$-\frac{v}{ \sin v} = 1$. Se puede hacer el resto sin expansión en series de Taylor/L'Hospital?