Cómo es parcial tiempo derivado $\frac{\partial}{\partial t}$ definido por el vector de flujos?

Question

Esta pregunta surgió cuando yo estaba pensando acerca de Liouville del teorema de la mecánica clásica. Como tengo entendido, el cambio de cualquier función a lo largo de la curva integral del campo vectorial Hamiltoniano es

$$\frac{d \rho}{d t} = \{\rho, H \} = \mathcal L_X \rho $$

donde $\{\,,\}$ es de Poisson soporte, $X$ es un campo de vectores asociado con $dH$ $\mathcal L$ es Mentira derivados. Tengo el siguiente entendimiento de $\frac{d f}{d t}$ --- como nos movemos en el colector $M$, con una velocidad de $X$, el paisaje ($f$ imaginaron como montañas en $M$) de los cambios. Las montañas son todavía, nos parece que se está moviendo.

Por otro lado, en ciertas formulaciones de Liouville del teorema $\frac{\partial}{\partial t}$ se utiliza:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \{\rho, H \} $$

(La pregunta es acerca de la definición de $\frac{\partial}{\partial t}$, no sobre el contenido del teorema de Liouville). Estoy familiarizado con la noción de material derivado parcial y de tiempo derivada de la costumbre de las formulaciones de la dinámica de fluidos, pero no estoy seguro de sus homólogos en la geometría diferencial.

¿Qué es parcial tiempo derivado $\frac{\partial}{\partial t}$ y ¿cómo se define invariantly para las funciones, campos vectoriales y formas diferenciales? Cómo se relaciona con $X$$\mathcal L_X$?

Answer 1

La cosa que me ha extrañado es que la distribución del espacio de fases es por definición el tiempo-dependiente de la función. De hecho, se define como la propagación de la distribución inicial con el Hamiltoniano de flujo:

$$\rho_t = \varphi^*_{-t} \, \rho_0$$

por lo tanto, parcial, tiempo derivativo tiene sentido en cualquier momento, independientemente de cualquier flujos:

$$\frac{\partial \rho_t}{\partial t} = \lim_{s \to 0} \frac{\rho_{t+s} - \rho_t}{s}$$

Por otro lado, el cambio de un tiempo-dependiente de la función a lo largo de algunas de flujo, que es $\frac{d}{dt}$, está dada por:

$$\frac{d}{dt} \left(\varphi^*_t f_t \right) = \varphi^*_t \left[\frac{\partial f_t}{\partial t} + \mathcal L_X \, f_t \right]$$

véase, por ejemplo, Suplemento en Línea de Jeffrey Lee "Colectores y la Geometría Diferencial". Esta expresión, por cierto, es válido para los tensores de todos los rangos.

Volviendo a la del teorema de Liouville, obtenemos:

$$0 = \frac{d \rho_0}{d t} = \frac{d}{dt} \left(\varphi^*_t \rho_t \right) = \varphi^*_t \left[\frac{\partial \rho_t}{\partial t} + \mathcal L_X \, \rho_t \right],$$

o, en notación concisa

$$\frac{d \rho_t}{d t} = \frac{\partial \rho_t}{\partial t} + \{ \rho_t, H \} = 0.$$

Answer 2

Creo que esto es lo que significa:

Estamos trabajando en un Hamiltoniano del sistema de $(M,\omega, H)$ donde $M$ $2n$ dimensiones simpléctica colector y $H\in C^\infty(M)$. Equipar $M$ con coordenadas locales $x^1,\dots,x^n,y^1,\dots,y^n$. Tenemos el campo de vectores Hamiltoniano $X_H\in\Gamma(TM)$. También, en esta fase de la función de distribución de $\rho$$C^\infty(M)$.

Por definición,$\{\rho, H\}\in C^\infty (M)$. Ahora $\rho$ solo es una función en $M$, pero nosotros sólo nos preocupamos de lo que se está haciendo a las soluciones de las ecuaciones de Hamilton, es decir, mapas $\gamma:\mathbb{R}\to M$ que son parte integrante de las curvas de $X_H$. Lo que en este sentido $\rho\circ\gamma:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Por lo tanto en las soluciones a las ecuaciones de Hamilton, $\rho$ es una función de $x^i,v^i$$t$. Tomando la derivada parcial con respecto a $t$ y evaluando $\gamma(t)$,$\frac{\partial\rho}{\partial t}(\gamma(t))$, le da un número real, que Liouville dice es $-\{\rho,H\}(\gamma(t))$

En cuanto a tu segunda pregunta, no estoy seguro de si esto es lo que están buscando, pero de una manera en que $\frac{\partial}{\partial t}$ está relacionado con $\mathcal L$ es por el hecho de que si $\mathcal L_{X_H}f=0$$f\in C^\infty (M)$, $f$ es constante en la curva integral de $X_H$. Es decir, $\frac{\partial}{\partial t}(f\circ\gamma)=0$, o lo que es equivalente, $f\circ\gamma=f$. En particular, es siempre el caso de que $\mathcal L_{X_H}H=0$, de modo que si $\theta$ es el flujo de $X_H$ $H$ es constante en el flujo de $X_H$ ( $H\circ\theta_t=H)$ .

También está relacionado con las formas ya que también tenemos que $\mathcal L_{X_H}\omega=0$, de modo que $\theta_t^\ast\omega=\omega$, es decir, el flujo de $X_H$ preserva $\omega$. Me refiero a una $\frac{\partial}{\partial t}$ aparece desde $\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0}\theta^{(p)}(t)=(X_H)_p$?