Esta pregunta es un poco borroso así que podría ser cerrado, pero voy a darle un tiro. Siento que esta pregunta tiene una larga introducción, no veo la manera de formular de forma más concisa.
En la moderna geometría algebraica (por ejemplo), muchos de los objetos definidos por universal propiedades conmutativa de diagramas, etc. Ahora, a veces, queremos demostrar afirmaciones acerca de ellos (ver más abajo para un ejemplo específico). Si estuviéramos trabajando en, digamos, conjuntos, entonces a menudo hay pruebas de que uno podría llamar "elemento", "sabio". Es decir, nos demuestran decir que dos objetos son isomorfos al escribir un morfismos (explicitamente!), un reivindica la inversa, y comprobar todos los puntos que las composiciones son, en efecto, la identidad.
Esto no funciona en (por ejemplo) la categoría de esquemas, donde una de morfismos "es" más de lo que "hace a los puntos", y donde además, no tenemos muy explícitas descripciones de varios objetos (por ejemplo, fibred productos). Por lo tanto, me encuentro a mí mismo tener que recurrir a trabajar con conmutativa y diagramas de propiedades universales. Esto funciona, en el siguiente sentido: para cualquier declaración en particular, me podría convencer a un amigo de su corrección. Esto sería ir dibujando el diagrama de decir un par de palabras, ampliar el diagrama y así sucesivamente (este es el paso donde tengo mi morfismos, dicen). Finalmente vuelvo sobre varios varios de los mapas empecé con mostrar ciertas propiedades de los composites y puede entonces concluir que los morfismos he producido en realidad son inversos.
Normalmente son tres cosas para ser observado con respecto a esto:
(1) Todo lo que yo hacía era "obvio" - en el sentido de que, por escribir lo que yo quiero probar, soy de inmediato guiado hacia lo que tengo que mostrar en la sucesión de hacer sentido de ella, y luego de verificar cada paso suele ser trivial.
(2) aunque puedo (con el pensamiento) hablar a través de una prueba, no me siento yo en realidad lo entiendo muy bien.
(3) no tengo idea de cómo iba a ser, posiblemente, anote dicha prueba. (Corto de pasar páginas en la trivialidad, la mayoría de los cuales consta de muy similares diagramas).
Mi pregunta es, entonces, cómo mejorar mi situación. Tenga en cuenta que si (2) fueron mejorando, entonces me sentiría menos de una necesidad de ser capaz de hacer (3) [aunque sería agradable].
Un Ejemplo específico
"Muestran que la relación frobenius desplazamientos con cambio de base".
Recuerda que, por $X \in Sch/\mathbb{F}_p$, los morfismos $\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X, x \mapsto x^p$ induce una de morfismos $F_X: X \to X$ conocido como absoluta frobenius. Si ahora nos fix $S \in Sch/\mathbb{F}_p$, podemos definir, para $X \in Sch/S$, $X^{(p)} = X \times_{S} S'$, donde $S'$ es el esquema de $S$ con estructura de morfismos $F_S$. Entonces es fácil ver que $X \to S$ $F_X: X \to X$ canónicamente inducir una de morfismos $F_{X/S}: X \to X^{(p)}$ conocido como relativo frobenius.
Ahora, dado un cambio de base $T \to S$, tenemos que demostrar que $(X^{(p)})_T$ es canónicamente isomorfo a $(X_T)^{(p)}$, y que el compuesto $X_T \to (X_T)^{(p)} \to (X^{(p)})_T$ (primer morfismos ser $F_{X_T/T}$) es $F_{X/S} \times id_S.$
Como he dicho anteriormente, sé que (de alguna manera) para mostrar esto, se trata de un desorden de diagramas conmutativos, y escribiendo esto fuera tendría una notable cantidad de espacio para una secuencia de banalidades.
