aditividad finita&aditividad contable

Question

Dejemos que $\tau$ sea una semialgebra de subconjuntos de $\Omega$ y que P: $\tau\rightarrow [0,1]$ con $P(\Omega)=1$ y satisface la aditividad finita: $P\big(\bigcup_{i=1}^{n}D_i\big)=\sum_{i=1}^{n}P(D_i)$ para $D_1,..., D_n\in \tau$ disjuntos, y $\bigcup_{i=1}^{n}D_i\in \tau$ . Supongamos que también tenemos para $A_1,..., A_n \in \tau$ tal que $A_{n+1}\subseteq A_n$ y $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset$ y $\lim_{n\rightarrow\infty}P(A_n)=0$ . Entonces, ¿cómo puedo demostrar que P tiene la propiedad de aditividad contable?

Answer 1

La respuesta a la pregunta del usuario133834 es no. Dejemos que $\Omega=[0,1] \cap Q$ ( $Q$ denota un conjunto de todos los números racionales) y $\tau$ se definirá de la siguiente manera: $$\tau=\{\emptyset\}\cup\{ q:q \in [0,1]\cap Q\} \cup \{ [a,b]\cap Q :0\le a<b\le 1\}\cup$$ $$\{ [a,b[\cap Q :0\le a<b\le 1\}\cup\{ ]a,b]\cap Q : 0 \le a<b \le 1\}\cup$$ $$\{ ]a,b[\cap Q :0\le a<b\le 1\}.$$ Dejemos que $P:\tau \to [0,1]$ se definirá de la siguiente manera: $P(\{q\})=0$ para $q \in [0,1]\cap Q$ y $$P([a,b]\cap Q)= P([a,b]\cap Q)= P([a,b[\cap Q)= P(]a,b]\cap Q)= P(]a,b[\cap Q)= b-a.$$ Entonces $\tau$ es una semialgebra y $P$ satisface todas las condiciones anteriores, pero $P$ no es aditivo contable.

Answer 2

Dejemos que $A_i \cap A_j =\emptyset$ para $i\neq j ,$ Dejemos que $$B_j =\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right)\setminus \left(\bigcup_{n=1}^{j} A_n \right).$$ Entonces $$0=\lim_{j\to\infty} P(B_j) =P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) -\lim_{j\to\infty} \sum_{n=1}^j P(A_n ).$$