Problema de Dirichlet en el disco: comportamiento de la función conjugada, y el efecto de las discontinuidades

Question

El problema de Dirichlet en el disco de la unidad es construir la función armónica a partir de la función continua dada en el círculo límite. Se resuelve por la convolución con el núcleo de Poisson, y sabemos que la función construida tiene un límite uniforme que es la función continua dada como $r \to 1$ y podemos complejizar la solución tomando la fórmula integral de Schwarz. Ahora (en este caso muy particular) ¿la parte imaginaria tiene un límite uniforme ? Si es así, ¿por qué no probamos la singularidad de la solución mediante una simple aplicación de la Fórmula integral caucásica ? Aquí está la prueba de que considero razonable (que es lo que expongo aquí para ser criticado)

Construimos la integral de Schwarz, o $ \frac {1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } \frac { \exp (it)+z}{ \exp {(it)}-z}u( \exp {(it)}) \mathrm {d}t$ . Esta función es una función analítica en el disco de la unidad interior, y es continua en el disco de la unidad cerrada (su cierre). Dejemos que esta función analítica denotada por $f$ y otra función analítica que tiene la misma función de límite uniforme en el círculo sea $v$ . Luego $u-v$ es una compleja función analítica en el interior del disco de la unidad, continua en el cierre, con un valor límite idéntico a cero. Una aplicación de la fórmula integral de Cauchy da lugar a la conclusión de que $u-v$ en idéntico cero en todo el disco.

Otra cuestión es si la función límite tiene discontinuidades de salto finitas, ¿cuál es la el comportamiento de la convolución con el núcleo de Poisson cerca de los puntos discontinuos ?

Answer 1

No, el conjugar de una función armónica que es continua hasta el límite no tiene por qué ser continua hasta el límite, ni siquiera limitada. Esto está relacionado con el hecho de que el La transformación de Hilbert no preserva la continuidad (aunque sí preserva la continuidad de los exponentes de Hölder $ \alpha\in (0,1)$ ).

Aquí hay un ejemplo. Dejemos que $F$ ser un mapa conformado del disco de la unidad en el dominio delimitado por las curvas $y=0$ y $y=1/(1+x^2)$ . Claramente, $F$ no está limitado: hay dos puntos en el límite del disco de la unidad que son enviados al infinito por $F$ . Sin embargo, la parte imaginaria de $F$ es continua: en los puntos mencionados se acerca $0$ . Así, $ \operatorname {Im}F$ es una función armónica que es continua en el disco de la unidad cerrada, pero cuyo conjugado no está limitado en el disco de la unidad.

Otro ejemplo lo da el mapa conformado $G$ en este rectángulo con infinitas rendijas:

Aquí la parte real de $G$ es continua hasta el límite, pero la parte imaginaria es discontinua, a pesar de estar limitada. (Hay un punto de círculo unitario donde su conjunto de cúmulos es un intervalo del tamaño igual a la altura de estas rendijas).

Comportamiento de la convolución con el núcleo de Poisson cerca de los puntos discontinuos

Ejemplo típico: considera el comportamiento de $ \arg z$ en el medio plano superior como $z$ enfoques $0$ . Obsérvese que los valores límite de $ \arg z$ tienen una discontinuidad de salto en $0$ saltan desde $0$ a $ \pi $ . Cuando $z$ enfoques $0$ desde dentro del dominio, podemos obtener cualquier número entre $0$ y $ \pi $ como un límite. O no tener ningún límite, si la curva de aproximación es en zig-zag.

Este comportamiento es común. De hecho, uno puede usar $ \arg z$ para probar esta afirmación: sustrayendo una versión apropiada de ella de los valores límites se elimina la discontinuidad, y entonces el comportamiento de la función se hace claro: consiste en una parte continua, más una parte que se comporta como $ \arg z$ arriba.