Para que enteros $n>2$ ¿existe un grupo finito $G$ orden $n$ tal que $G$ tiene un subgrupo de orden $n-2$?

Question

Para que enteros $n>2$ ¿existe un grupo finito $G$ orden $n$ tal que $G$ tiene un subgrupo de orden $n-2$?

Sé cómo abordar este problema mediante el Teorema de Lagrange, pero no estoy autorizado para utilizarlo.

Es allí una manera de generar el hecho de que "si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces |H| divide a |G|" sin usar coset?

Answer 1

Aquí es como yo lo hice de un problema similar antes de que yo sé del teorema de Lagrange.

Supongamos $H$ es un buen subgrupo de $G$, entonces no es un $x\not \in H$. Es fácil mostrar que $hx\not\in H$ todos los $h\in H$. Por lo tanto, hay al menos tantos elementos en $G\setminus H$, ya que hay en $H$.

Llegamos a la conclusión de que $|H|\leq \frac{|G|}{2}$. Por lo tanto, usted debe tener en el caso de que $n-2\leq n/2$ o $n\leq 4$.

Claramente es imposible con $n=1,2$, y es claramente posible para $n=3$ $n=4$ puede considerar que el grupo de $\mathbb Z_4$ y el subgrupo $\{0,2\}$.