Encontrar $\frac{a+b+c}{x+y+z}$ dado $a^2+b^2+c^2$, $x^2+y^2+z^2$ y $ax+by+cz$.

Question

Se nos da $a^2+b^2+c^2=m$, $x^2+y^2+z^2=n$ y $ax+by+cz=p$ donde $m,n$ $p$ son conocidos constantes. También, $a,b,c,x,y,z$ no son números negativos.

La pregunta para encontrar el valor de $\dfrac{a+b+c}{x+y+z}$.

He pensado mucho acerca de este problema, pero no puedo resolverlo.

Puedo escribir $(a+b+c)^2$$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=m+2(ab+bc+ca)$, pero luego no sé cómo determinar $ab+bc+ca$. Tampoco estoy seguro de cómo utilizar la ecuación de $ax+by+cz=p$ a ayudarme en la búsqueda de la expresión del valor.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

No creo que esto se puede resolver. Creo que de $A=(a, b, c)$ $X=(x, y, z)$ como vectores. Entonces sabemos $A\cdot A$, $X\cdot X$ y $A\cdot X$. Así que todo lo que sabemos es que las longitudes de $A$$X$, y el ángulo entre ellos. Ahora vamos a $C=(1,1,1)$. Lo que queremos es

$$\frac{A\cdot C}{X\cdot C}$$

Pero si tenemos $A$ $C$ fijo todavía podemos variar $X$ manteniendo $X\cdot X$ $A\cdot X$ el mismo: Simplemente gire $X$ alrededor del eje dado por $A$. Esto cambia $X\cdot C$ sin cambio $A\cdot C$, por lo que se tiene que cambiar el valor de la expresión que queremos calcular. Por lo que esta expresión no está determinado únicamente por las cantidades que se indican.

Answer 2

Deje $m=5/4,n=2,p=1$. Podemos producir un parámetro de una familia de soluciones para las tres ecuaciones de modo que $(a+b+c)/(x+y+z)$ tiene un número infinito de valores para la familia.

Deje $a=\cos t,\ b=\sin t, c=1/2$ (por lo $a^2+b^2+c^2=5/4$ está satisfecho.)

Deje $x=\cos u,\ y=\sin u, z=1$ (por lo $x^2+y^2+z^2=2$ está satisfecho.)

El uso de la diferencia de la fórmula para el coseno, la tercera ecuación se convierte en $$\cos(t-u)+1/2=1,$$ que tiene siempre como decir $t-u=\pi/3$. Así que pon $t=u+\pi/3$ [, también con la $0<u<\pi/6$ mantener $t,u$ en el primer cuadrante, de modo que $a,b,x,y$ son positivas] y considerar la cantidad de $(a+b+c)/(x+y+z)$, que se convierte en $$\frac{\cos(u+\pi/3)+\sin(u+\pi/3)+1/2}{\cos u + \sin u + 1},$$ que es un suave no constante de la función de $u$, por lo que toma un número infinito de valores.