$(y^{2} − 1) + 2(x − y(1 + y)^{2})y' = 0$ ¿Qué método debo utilizar para resolver este ODE?

Question

$(y^{2} − 1) + 2(x − y(1 + y)^{2})y' = 0$ ¿Qué método debo utilizar para resolver este ODE ? Claramente Este no es lineal, y no sé cómo convertir este a Bernoulli,la búsqueda de la integración del factor parece ser más complicado, entonces la pregunta ? Me estoy perdiendo algo ? Creo que está en algún lugar a lo largo de la línea de $y' = F(y/x)$...pero, ¿qué es $F$

Creo que tengo que hacer algún tipo de trig sub...alguno me puede decir cómo transformar un 1er Orden Oda a coordenadas polares ??

Answer 1

Como usted lo hizo, si ponemos $M(x,y)=y^2-1$ $N(x,y)=2(x-y\big(1+y\big)^2)$ $$M_y=2y,N_x=2$$ so according to well-know formula, if the integrating factor be respect to $ y$, then $$\mu(y)=\exp\left(\int\frac{M_y-N_x}{-M}dy\right)=\exp\left(\int\frac{2y-2}{1-y^2}dy\right)=\exp\left(\int\frac{-2}{1+y}dy\right)=\exp\left(\ln\left(\frac{1}{(1+y)^2}\right)\right)=\frac{1}{(1+y)^2}$$ Ahora multiplicamos a ambos lados de la ecuación. Hace que su ecuación exacta.