Cómo probar Godunova la desigualdad?

Question

Deje $\phi$ ser positivo y convexa de la función en $(0,\infty)$. Entonces $$\int_0^\infty \phi\left(\frac{1}{x}\int_0^x g(t)\,dt\right)\frac{dx}{x} \leq \int_0^\infty \phi(g(x))\frac{dx}{x}$$

La aplicación de esta desigualdad es este :

$(1)$ Resistente a la desigualdad.

Con $\phi(u)=u^p$, obtenemos que $$\int_0^\infty \left(\frac{1}{x} \int_0^x g(t) \, dt\right)^p\frac{dx}{x} \leq \int_0^\infty g^p(x)\frac{dx}{x}$$ (2) Poli-Knopp la desigualdad

Mediante el uso de se con $\phi(u)=u^p$, en sustitución de $g(x)$ $\log g(x)$ y haciendo la sustitución de $h(x)=\frac{g(x)}{x}$ obtenemos que

$$\int_0^\infty \exp\left(\frac{1}{x} \int_0^x \log h(t)\right) \, dt \leq e\int_0^\infty h(x) \, dx$$

Cómo probar Godunova la desigualdad? ¿Hay alguna referencia?

Answer 1

Esto es sólo un explícito de ejecución (como un wiki de la comunidad de respuesta) de la sugerencia en los comentarios:

Por la desigualdad de Jensen, obtenemos (debido a $(0,x)$ con la medida $\frac{dt}{x}$ es un espacio de probabilidad)

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}\phi\left(\int_{0}^{x}g\left(t\right)\frac{dt}{x}\right)\frac{dx}{x} & \leq & \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{x}\phi\left(g\left(t\right)\right)\frac{dt}{x}\,\frac{dx}{x}\\ & \overset{\text{Fubini}}{=} & \int_{0}^{\infty}\phi\left(g\left(t\right)\right)\,\int_{t}^{\infty}x^{-2}\, dx\, dt\\ & = & \int_{0}^{\infty}\phi\left(g\left(t\right)\right)\,\frac{dt}{t} \end{eqnarray*}

La aplicación del teorema de Fubini es legítimo ya que el integrando es no negativo.